2
次の $2$ つの直線が平行になるような $a$ と $b$ の値の組として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$l_1 : \left\{ x=2+ty=5+atz=5+3t \right.~~~~~l_2 : \left\{ x=4+2ty=1−2tz=3+bt \right.$
$a = -1$, $~b = 6$
$a = 4$, $~b = -6$
$a = 4$, $~b = 6$
$a = -1$, $~b = -6$
$\overrightarrow{v_1} = (1,a,3)$ , $\overrightarrow{v_2} = (2,-2,b)$ とすると $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ はそれぞれ $l_1$, $l_2$ の方向ベクトルである。
$l_1$ と $l_2$ が平行である時, 方向ベクトルも平行であるから
$\overrightarrow{v_1} = k\overrightarrow{v_2}$
となる $k$ が存在する。 $x$ 成分を比べると
$1 = 2k$
より $k = \dfrac{1}{2}$ となる。よって $y$ 成分の値から
$a = \dfrac{1}{2}\cdot (-2) = -1$
であり, また $z$ 成分の値から
$3 = \dfrac{1}{2}b$
より $b = 6$ である。