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次の $2$ つの直線が平行になるような $a$ と $b$ の値の組として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$l_1 : \left\{ \begin{aligned} x &= -2 + 3t \\ y &= 3 + t \\ z &= -4 + at \end{aligned} \right.~~~~~l_2 : \left\{ \begin{aligned} x &= 1 + bt \\ y &= - 2t \\ z &= 3 +4t \end{aligned} \right.$
$a = - 2$, $~b = - 6$
$a = - 2$, $~b = 6$
$a = 2$, $~b = - 6$
$a = 2$, $~b = 6$
$\overrightarrow{v_1} = (3,1,a)$ , $\overrightarrow{v_2} = (b,-2,4)$ とすると $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ はそれぞれ $l_1$, $l_2$ の方向ベクトルである。
$l_1$ と $l_2$ が平行である時, 方向ベクトルも平行であるから
$\overrightarrow{v_1} = k\overrightarrow{v_2}$
となる $k$ が存在する。 $y$ 成分を比べると
$1 = -2k$
より $k = -\dfrac{1}{2}$ となる。よって $x$ 成分の値から
$3 = -\dfrac{1}{2}b$
より $b=-6$ であり, また $z$ 成分の値から
$a = -\dfrac{1}{2}\cdot 4 = -2$
である。