空間内の $2$ つの直線
$l_1 : \dfrac{x-2}{5} = -y+4 = \dfrac{z-1}{4}$
$l_2 :- \dfrac{x-2}{4} = \dfrac{y-2}{5} = z-4$
のなす角 $\theta~\left(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\pi}{3}$
$0$
$\dfrac{2}{3}\pi$
$\pi$
$2$ つの直線のそれぞれの方向ベクトルがなす角 $\theta$ を, これらの直線のなす角という。
ただし, $\theta$ が $0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように方向ベクトルを選ぶものとする。
直線 $l_1$ の方向ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = (5,-1,4)$ であり,
直線 $l_2$ の方向ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = (4,-5,-1)$ であるから
$\overrightarrow{v_1}$ と $\overrightarrow{v_2}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ 20 + 5 - 4}{\sqrt{42} \sqrt{42} } = \dfrac{21}{42} = \dfrac{1}{2}$
$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より, $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ である。
※注意
$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように方向ベクトルを選ぶことに注意する。