空間内の $2$ つの直線
$l_1 : \dfrac{x-2}{5} = \dfrac{y-4}{5} = \dfrac{z-1}{2}$
$l_2 : \dfrac{x-2}{4} = \dfrac{y-2}{3} = \dfrac{z-4}{5}$
のなす角 $\theta~\left(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{5}{6}\pi$
$\dfrac{\pi}{4}$
$2$ つの直線のそれぞれの方向ベクトルがなす角 $\theta$ を, これらの直線のなす角という。
ただし, $\theta$ が $0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように方向ベクトルを選ぶものとする。
直線 $l_1$ の方向ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = (5,5,2)$ であり,
直線 $l_2$ の方向ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = (4,3,5)$ であるから
$\overrightarrow{v_1}$ と $\overrightarrow{v_2}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ 20 + 15 + 10}{\sqrt{54} \sqrt{50} } = \dfrac{45}{30\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より, $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ である。