$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( 1, -5, 8)$, $\overrightarrow{b} = (-7, 3, 8)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $z$ 成分が負であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( -\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( \dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( -\dfrac{2}{9},-\dfrac{2}{9},-\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( \dfrac{2}{9},\dfrac{2}{9},-\dfrac{1}{9} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$
より
$\left\{ \begin{aligned} x - 5y + 8z &=0 \\[1em] -7x + 3y + 8z &=0 \end{aligned} \right.$
ここから
$(x - 5y + 8z) - (-7x + 3y + 8z ) = 8x -8y = 0$
よって $y = x$ であり, これを $1$ つ目の式に代入すると
$x - 5x + 8z = -4x + 8z =0$
より $x = 2z$ となる。よって
$\overrightarrow{e} = ( 2z, 2z , z) = z(2, 2, 1)$
ここで
$|(2,2,1)| = \sqrt{4+4+1} = 3$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{3}$ であり,
$z$ 成分が負であることから $z = -\dfrac{1}{3}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( -\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$