$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( 1, 2, 0)$, $\overrightarrow{b} = (-1, -3, -4)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $z$ 成分が正であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( \dfrac{8}{9},-\dfrac{4}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( -\dfrac{8}{9},\dfrac{4}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( \dfrac{8}{3},-\dfrac{4}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( -\dfrac{8}{3},\dfrac{4}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$
より
$\left\{ \begin{aligned} x + 2y &=0 \\[1em] -x - 3y - 4z &=0 \end{aligned} \right.$
ここから $x = -2y$ を $2$ つ目の式に代入すると
$-y-4z=0$
よって $y = -4z$ より
$\overrightarrow{e} = ( 8z, -4z , z) = z(8, -4, 1)$
ここで
$|(8,-4,1)| = \sqrt{64+16+1} = 81$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{9}$ であり,
$z$ 成分が正であることから $z = \dfrac{1}{9}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( \dfrac{8}{9},-\dfrac{4}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$