$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを

$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$

とすると

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$

より

$\left\{ \begin{aligned} -3x + y + 4z &=0 \\[1em] -x + 4z &=0 \end{aligned} \right.$

である。 $x = 4z$ であるから, $1$ つ目の式に代入すると

$-12z + y + 4z  =0$

よって $y = 8z$ となる。よって

$\overrightarrow{e} = (4z, 8z , z) = z(4, 8, 1)$

ここで

$|(4,8,1)| = \sqrt{16+64+1} = 9$

かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{9}$ であり, 

$y$ 成分が正であることから $z = \dfrac{1}{9}$ である。よって

$\overrightarrow{e} = \left( \dfrac{4}{9},~\dfrac{8}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$