$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを

$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$

とすると

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$

より

$\left\{ \begin{aligned} -5x - 3y - 4z &=0 \\[1em] x + 2y - 2z &=0 \end{aligned} \right.$

ここから

$(-5x - 3y - 4z) - 2(x + 2y -2z ) = -7x -7y = 0$

よって $y = -x$ であり, これを $2$ つ目の式に代入すると

$x - 2x -2z = -x -2z =0$

より $x = -2z$ となる。よって

$\overrightarrow{e} = ( -2z, 2z , z) = z(-2, 2, 1)$

ここで

$|(-2,2,1)| = \sqrt{4+4+1} = 3$

かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{3}$ であり, 

$x$ 成分が負であることから $z = \dfrac{1}{3}$ である。よって

$\overrightarrow{e} = \left( -\dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$