$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを

$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$

とすると

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = -5x - 5y + 0 =0$

より $y = -x$ である。また

$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = -x - 2y - 2z =0$

であり $y = -x$ を代入すると $x = 2z$ となる。よって

$\overrightarrow{e} = ( 2z, -2z , z) = z(2, -2, 1)$

ここで

$|(2,-2,1)| = \sqrt{4+4+1} = 3$

かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{3}$ であり, 

$x$ 成分が正であることから $z = \dfrac{1}{3}$ である。よって

$\overrightarrow{e} = \left( \dfrac{2}{3},~-\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$