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$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (2,1,-2)$, $\overrightarrow{b} = (4,-3,-5)$ のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{3}{4}\pi$
$\dfrac{2}{3}\pi$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} }{ |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$
が成り立つ。よって
$\cos \theta = \dfrac{ 8 - 3 + 10}{\sqrt{9}\sqrt{50}} = \dfrac{15}{15\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$0\leqq \theta \leqq \pi$ であるから $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ である。