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原点を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とする。この時, 点 ${\rm A}(0,1)$ と点 ${\rm B}(-3,0)$ を通る直線と $C$ との交点のうち, ${\rm A}$ でない点の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( - \dfrac{3}{5}~,\dfrac{4}{5}\right)$
$\left( \dfrac{3}{5}~,\dfrac{4}{5}\right)$
$\left( - \dfrac{4}{5}~,\dfrac{3}{5}\right)$
$\left( \dfrac{4}{5}~,\dfrac{3}{5}\right)$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-3,-1)$ より, $2$ 点 ${\rm AB}$ を通る直線の媒介変数表示は
$\left\{ \begin{aligned} x & = -3t \\ y &= 1 -t \end{aligned} \right.$
となるので, 交点を ${\rm P}(x,y)$ とすると媒介変数 $t$ を用いて $(x,y) = (-3t, 1-t)$ と表せる。
点 ${\rm P}$ は $C$ 上にあることから
$(-3t)^2 + (1-t)^2 = 1$
整理すると
$10t^2 - 2t = 2t ( 5t-1)=0$
$t=0$ の時は ${\rm A}$ に対応するので $t = \dfrac{1}{5}$ である。
よって ${\rm P}$ の座標は
$(x,y) = \left( -\dfrac{3}{5}~,\dfrac{4}{5} \right)$
となる。