$3x - 6y + 5 =0$ より

$y = \dfrac{1}{2} x + \dfrac{5}{6}$

よって直線 $3x-6y+5=0$ は $(2,1)$ を方向ベクトルに持つ。

$3x - 6y + 5=0$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると $\overrightarrow{n}$ と $(2,1)$ は垂直であるから

$\overrightarrow{n}\cdot (2,1) = 2n_1 + n_2 = 0$

$n_2= - 2 n_1$ より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(n_1,-2 n_1\right)=n_1(1,-2)$

よって $(1,-2)$ と平行なベクトルは $3x - 6y + 5 =0$ の法線ベクトルである。

$\left( -\dfrac{1}{\sqrt{5}}~, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) = -\dfrac{1}{\sqrt{5}} (1,-2)$

より $\left( -\dfrac{1}{\sqrt{5}}~, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$ と $(1,-2)$ は平行であるから

$\left( -\dfrac{1}{\sqrt{5}}~, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$ は $3x - 6y + 5 =0$ の法線ベクトルである。