直線 $y=-\dfrac{3}{7}x + \dfrac{5}{3}$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると

$y=-\dfrac{3}{7}x + \dfrac{5}{3}$ は $(7,-3)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(7,-3)$ は垂直である。よって

$\overrightarrow{n}\cdot (7,-3) = 7n_1 -  3n_2=0$

$n_2=  \dfrac{7}{3} n_1$ より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(n_1~,\dfrac{7}{3}n_1 \right)= \dfrac{1}{3}n_1(3,7)$

よって $(3,7)$ は $y=-\dfrac{3}{7}x + \dfrac{5}{3}$ の法線ベクトルである。