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次の $3$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ に対し, $\overrightarrow{z} = p\overrightarrow{x} + q\overrightarrow{y}$ と表した時の $p$ と $q$ の値として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (2,4),~~\overrightarrow{y} = (1,5),~~\overrightarrow{z} = (3,2)$
$p = \dfrac{13}{6}$, $q = -\dfrac{4}{3}$
$p = \dfrac{7}{6}$, $q = \dfrac{1}{6}$
$p = \dfrac{7}{6}$, $q = -\dfrac{4}{3}$
$p = \dfrac{13}{6}$, $q = \dfrac{1}{6}$
$ p\overrightarrow{x} + q\overrightarrow{y} = (2p+q,4p+5q)$
であるから $\overrightarrow{z} = p\overrightarrow{x} + q\overrightarrow{y}$ とすると
$\left\{ \begin{aligned} 2p+q &= 3\\ 4p+5q &= 2 \end{aligned} \right.$
これを解くと $p = \dfrac{13}{6}$, $q = -\dfrac{4}{3}$ となる。