各ベクトルが以下の関係にある時, $\overrightarrow{z}$ を $\overrightarrow{x}$ と $\overrightarrow{y}$ を用いて表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b},~~\overrightarrow{y} = -2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},~~\overrightarrow{z} = 3\overrightarrow{a} + 5\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{z} = -13\overrightarrow{x} -8\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 7\overrightarrow{x} +2\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = -7\overrightarrow{x} -2\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = -10\overrightarrow{x} -6\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = -\overrightarrow{a}$ より
$\overrightarrow{a} = -\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}$
また, $2\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = -\overrightarrow{b}$ より
$\overrightarrow{b} = -2\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}$
よって
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{z} & = & 3\overrightarrow{a} + 5\overrightarrow{b}\\[1em] & = & 3\left( -\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} \right) + 5\left( -2\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} \right) \\[1em] & = & -13\overrightarrow{x} -8\overrightarrow{y} \end{eqnarray*}$