各ベクトルが以下の関係にある時, $\overrightarrow{z}$ を $\overrightarrow{x}$ と $\overrightarrow{y}$ を用いて表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},~~\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},~~\overrightarrow{z} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{z} = -\overrightarrow{x} + 4\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = -\overrightarrow{x} - 8\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 5\overrightarrow{x} + 4\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 5\overrightarrow{x} - 8\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} = \overrightarrow{a}$ より
$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}$
また, $\overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{y} = -\overrightarrow{b}$ より
$\overrightarrow{b} = -\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y}$
よって
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{z} & = & 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\\[1em] & = & 2\left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} \right) + 3\left( -\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} \right) \\[1em] & = & -\overrightarrow{x} + 4\overrightarrow{y} \end{eqnarray*}$