各ベクトルが以下の関係にある時, $\overrightarrow{z}$ を $\overrightarrow{x}$ と $\overrightarrow{y}$ を用いて表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{y},~~\overrightarrow{b} = -4\overrightarrow{x} + 3\overrightarrow{y},~~\overrightarrow{z} = 4\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{z} = -4\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = -4\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 4\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 4\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}$
代入して計算すると
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{z} & = & 4\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\\[1em] & = & 4\left( 2\overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{y} \right) + 3\left( -4\overrightarrow{x} + 3\overrightarrow{y}\right)\\[1em] & = & (8-12)\overrightarrow{x} + (-8+9)\overrightarrow{y}\\[1em] & = & -4\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} \end{eqnarray*}$