$4$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ が次を満たす時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いてそれぞれ表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} &= \overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{x} -\overrightarrow{y} &= \overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$1$ 番目の式に $2$ 番目の式の $2$ 倍を足すと
$3\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$
よって $\overrightarrow{x} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+ \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}$
また, $1$ 番目の式から $2$ 番目の式を引くと
$3\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$
となるので $\overrightarrow{y} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{a} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}$ である。