$4$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ が次を満たす時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いてそれぞれ表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} &= \overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{x} -\overrightarrow{y} &= \overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\\ \overrightarrow{y} &= -\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\\ \overrightarrow{y} &= -\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right)\end{aligned} \right.$
$2$ つの式を足すと
$2\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$
となるので, 両辺を $2$ で割ると
$\overrightarrow{x} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)$
また, $2$ つの式を引くと
$2\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$
となるので, 両辺を $2$ で割ると
$\overrightarrow{y} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right)$