$\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm BC}} - \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} + \overrightarrow{{\rm CB}} = \overrightarrow{{\rm OB}}$

両辺から $\overrightarrow{{\rm OA}}$ を引き, 整理すると

$\left(\overrightarrow{{\rm BC}}+ \overrightarrow{{\rm CB}}\right)  - \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = \overrightarrow{{\rm OB}} - \overrightarrow{{\rm OA}}$

$\overrightarrow{{\rm BB}}  - \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = \overrightarrow{{\rm AB}}$

$\overrightarrow{{\rm BB}}$ を両辺から引くと

$-\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} =  \overrightarrow{{\rm AB}} - \overrightarrow{{\rm BB}} = \overrightarrow{{\rm AB}}$

よって

$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = -\overrightarrow{{\rm AB}} =\overrightarrow{{\rm BA}}$

である。

一般に

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}$

が成り立つことに注意する。