まず, 斉次線形微分方程式

$\dfrac{d^2x}{dt^2} + 6\dfrac{dx}{dt} + 8x = 0$

を解いていきます。特性方程式

$\lambda^2 + 6\lambda + 8=0$

を考えると

$\lambda^2 + 6\lambda + 8=(\lambda + 4)(\lambda + 2)=0$

$\lambda = -4,~-2$ より, 斉次方程式の一般解は $x = C_1e^{-4t}+ C_2e^{-2t}$ になります。

次に, 非斉次方程式の右辺が $t$ の $1$ 次式であることから, 特殊解を

$x = At + B$

として非斉次方程式に代入すると

$6A + 8(At+B) = 8At + (6A+8B) = -3t$

係数を比べると $A = -\dfrac{3}{8}$, $B = \dfrac{9}{32}$ となるので

$x = -\dfrac{3}{8}t + \dfrac{9}{32}$

が特殊解であることがわかります。

非斉次方程式の一般解は特殊解と斉次方程式の一般解の和になるので, 一般解は

$x = C_1e^{-4t}+C_2e^{-2t} - \dfrac{3}{8}t + \dfrac{9}{32} ~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)

となります。

※別解(特殊解の求め方)

特殊解の公式

$\displaystyle x = -x_1\int \dfrac{x_2R(t)}{W(x_1,x_2)} ~dt + x_2\int \dfrac{x_1R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt$

を用いると $x_1 = e^{-4t}$, $x_2 =e^{-2t}$, $R(t) = -3t$ であり

$W(e^{-4t},e^{-2t}) = \left| $$\begin{array}{cc} e^{-4t} & e^{-2t} \\ -4e^{-4t} & -2e^{-2t} \end{array}$$ \right| = 2e^{-6t}$

であるから不定積分の部分を計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} \int \dfrac{x_2R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt & = & \int \dfrac{-3te^{-2t}}{2e^{-6t}} ~ dt\\[1em] & = & -\dfrac{3}{2}\int te^{4t}~dt\\[1em] & = & -\dfrac{3}{2}\left( \dfrac{1}{4}te^{4t} - \dfrac{1}{4}\int e^{4t}~dt \right) = \dfrac{3}{32}e^{4t} - \dfrac{3}{8}te^{4t} \end{eqnarray*}$$ $

同様に

$ $$\begin{eqnarray*} \int \dfrac{x_1R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt & = & \int \dfrac{-3te^{-4t}}{2e^{-6t}} ~ dt\\[1em] & = & -\dfrac{3}{2}\int te^{2t}~dt\\[1em] & = & -\dfrac{3}{2}\left( \dfrac{1}{2}te^{2t} - \dfrac{1}{2}\int e^{2t}~dt \right) = \dfrac{3}{8}e^{2t} - \dfrac{3}{4}te^{2t} \end{eqnarray*}$$ $

よって特殊解は

$ $$\begin{eqnarray*}x & = & -x_1\int \dfrac{x_2R(t)}{W(x_1,x_2)} ~dt + x_2\int \dfrac{x_1R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt\\[1em] & = & -e^{-4t}\left( \dfrac{3}{32}e^{4t} - \dfrac{3}{8}te^{4t} \right) + e^{-2t}\left( \dfrac{3}{8}e^{2t} - \dfrac{3}{4}te^{2t} \right)\\[1em] & = & -\left( \dfrac{3}{32} - \dfrac{3}{8}t \right) + \left( \dfrac{3}{8} - \dfrac{3}{4}t \right)\\[1em] & = & \left( \dfrac{3}{8} - \dfrac{3}{4}\right)t +\left( \dfrac{3}{8} - \dfrac{3}{32} \right)\\[1em] & = & -\dfrac{3}{8}t + \dfrac{9}{32} \end{eqnarray*}$$ $

となります。

$\dfrac{d^2x}{dt^2} + \dfrac{dx}{dt} = 0$ とすると, 特性方程式は

$\lambda^2 + \lambda = \lambda(\lambda + 1)=0$

$\lambda = 0,-1$ より, 斉次方程式の一般解は $x = C_1 + C_2e^{-t}$ となります。

次に, 非斉次方程式の右辺が $t$ の $1$ 次式であり, 左辺に $x$ の項が含まれないことから特殊解が

$x = At^2 + Bt$

という形をしていると仮定します。

ここで, 定数項は斉次方程式の一般解になっているので, 特殊解では考える必要がないことに注意しましょう。

非斉次方程式に代入すると

$2A + (2At + B) = 2At + (2A + B) = 2t$

係数を比べると $A = 1$, $B = -2$ となるので

$x = t^2 - 2t$

が特殊解となることがわかります。

よって, 非斉次方程式の一般解は

$x = C_1 + C_2e^{-t} + t^2 -2t ~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)

となります。

※注意

ここで特殊解を

$x = At + B$

と仮定してしまうと, 非斉次方程式に代入した時に

$A = 2t$

となってしまい, 係数を求めることができません。

※別解(特殊解の求め方)

特殊解の公式を使うと $x_1 = 1$, $x_2 = e^{-t}$, $R(t) = 2t$ であり

$W(1,e^{-t}) = \left| $$\begin{array}{cc} 1 & e^{-t} \\ 0 & -e^{-t} \end{array}$$ \right| = -e^{-t}$

であるから不定積分の部分を計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} \int \dfrac{x_2R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt & = & \int \dfrac{2te^{-t}}{-e^{-t}} ~ dt = -\int 2t~dt = -t^2 \end{eqnarray*}$$ $

同様に

$ $$\begin{eqnarray*} \int \dfrac{x_1R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt & = & \int \dfrac{2t}{-e^{-t}} ~ dt\\[1em] & = & -2\int te^{t}~dt\\[1em] & = & -2\left( te^{t} - \int e^{t}~dt \right) = 2e^t -2te^t \end{eqnarray*}$$ $

よって特殊解は

$ $$\begin{eqnarray*}x & = & -x_1\int \dfrac{x_2R(t)}{W(x_1,x_2)} ~dt + x_2\int \dfrac{x_1R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt\\[1em] & = & -\left( -t^2 \right) + e^{-t}\left( 2e^t - 2te^t \right)\\[1em] & = & t^2 -2t + 2 \end{eqnarray*}$$ $

となります。定数項の $2$ は一般解に含まれることにも注意しましょう。

$\dfrac{d^2x}{dt^2} + 5\dfrac{dx}{dt} + 6x=0$ とすると, 特性方程式は

$\lambda^2 + 5\lambda + 6 = (\lambda + 3)(\lambda + 2) =0$

$\lambda = -3,-2$ より, 斉次方程式の一般解は $x = C_1e^{-3t}+ C_2e^{-2t}$ となります。

次に, 非斉次方程式の右辺が指数関数なので, 特殊解を

$x = Ae^{3t}$

と仮定して, 非斉次方程式に代入すると

$(9A + 15A + 6A)e^{3t} = 4e^{3t}$

係数を比べると $30A = 4$ より $A= \dfrac{2}{15}$ となります。よって

$x = \dfrac{2}{15}e^{3t}$

が特殊解であることがわかります。以上から, 非斉次方程式の一般解は

$x = C_1e^{-3t} + C_2e^{-2t} + \dfrac{2}{15}e^{3t}~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)

となります。

※別解(特殊解の求め方)

ロンスキアンを計算すると

$W(e^{-3t},e^{-2t}) = \left| $$\begin{array}{cc} e^{-3t} & e^{-2t} \\ -3e^{-3t} & -2e^{-2t} \end{array}$$ \right| = e^{-5t}$

不定積分の部分を計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} \int \dfrac{x_2R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt & = & \int \dfrac{4e^t}{e^{-5t}} ~ dt = 4\int e^{6t}~dt = \dfrac{2}{3}e^{6t} \end{eqnarray*}$$ $

同様に

$ $$\begin{eqnarray*} \int \dfrac{x_1R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt & = & \int \dfrac{4}{e^{-5t}} ~ dt= 4\int e^{5t} = \dfrac{4}{5}e^{5t} \end{eqnarray*}$$ $

よって特殊解は

$ $$\begin{eqnarray*}x & = & -x_1\int \dfrac{x_2R(t)}{W(x_1,x_2)} ~dt + x_2\int \dfrac{x_1R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt\\[1em] & = & -\dfrac{2}{3}e^{3t} + \dfrac{4}{5}e^{3t} = \dfrac{2}{15}e^{3t} \end{eqnarray*}$$ $

となります。

$\dfrac{d^2x}{dt^2} - \dfrac{dx}{dt} - 2x=0$ とすると, 特性方程式は

$\lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda + 1)(\lambda - 2) =0$

$\lambda = -1,~2$ より, 斉次方程式の一般解は $x = C_1e^{-t}+ C_2e^{2t}$ となります。

次に, 非斉次方程式の右辺が指数関数で, $x = e^{2t}$ が一般解に含まれていることから, 特殊解を

$x = Ate^{2t}$

と仮定して, 非斉次方程式に代入すると

$(4Ae^{2t} + 4Ate^{2t}) -(Ae^{2t} + 2Ate^{2t}) -2Ate^{2t} = e^{2t}$

整理すると $3Ae^{2t} = e^{2t}$ となるので $A=\dfrac{1}{3}$ となります。よって

$x = \dfrac{1}{3}te^{2t}$

が特殊解であることがわかります。以上から, 非斉次方程式の一般解は

$x = C_1e^{-t} + C_2e^{2t} + \dfrac{1}{3}te^{2t}~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)

となります。

※注意

ここで特殊解を $x = Ae^{2t}$ と仮定してしまうと非斉次方程式は

$4Ae^{2t} -2Ae^{2t} -2Ae^{2t} = 0$

となってしまうので, 係数 $A$ を求めることができません。

※別解(特殊解の求め方)

ロンスキアンを計算すると

$W(e^{-t},e^{2t}) = \left| $$\begin{array}{cc} e^{-t} & e^{2t} \\ -e^{-t} & 2e^{2t} \end{array}$$ \right| = 3e^t$

不定積分の部分を計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} \int \dfrac{x_2R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt & = & \int \dfrac{e^{4t}}{3e^t} ~ dt = \dfrac{1}{3}\int e^{3t}~dt = \dfrac{1}{9}e^{3t} \end{eqnarray*}$$ $

同様に

$ $$\begin{eqnarray*} \int \dfrac{x_1R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt & = & \int \dfrac{e^t}{3e^t} ~ dt= \dfrac{1}{3}t \end{eqnarray*}$$ $

よって特殊解は

$ $$\begin{eqnarray*}x & = & -x_1\int \dfrac{x_2R(t)}{W(x_1,x_2)} ~dt + x_2\int \dfrac{x_1R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt = -\dfrac{1}{9}e^{2t} + \dfrac{1}{3}te^{2t} \end{eqnarray*}$$ $

となります。$-\dfrac{1}{9}e^{2t}$ は一般解に含まれていることに注意しましょう。

$\dfrac{d^2x}{dt^2} + 5\dfrac{dx}{dt} + 6x=0$ とすると, 特性方程式は

$\lambda^2 + 5\lambda + 6 = (\lambda + 3)(\lambda + 2) =0$

$\lambda = -3,~-2$ より, 斉次方程式の一般解は $x = C_1e^{-3t}+ C_2e^{-2t}$ となります。

次に, 非斉次方程式の右辺が三角関数なので, 特殊解を

$x = A\sin 2t + B\cos 2t$

と仮定すると

$\dfrac{dx}{dt} = 2A\cos 2t - 2B\sin 2t$

$\dfrac{d^2x}{dt^2} = -4A\sin 2t - 4B\cos 2t$

非斉次方程式に代入して整理すると

$(2A -10B)\sin 2t + (10A +2B)\cos 2t = 5\sin 2t$

係数を比べると

$ $$\begin{cases} 2A - 10B = 5 \\ 10A + 2B =0 \end{cases}$$ $

これを解くと $A =\dfrac{5}{52}$, $B = -\dfrac{25}{52}$ となります。よって

$x = \dfrac{5}{52}\sin 2t - \dfrac{25}{52}\cos 2t$

が特殊解であることがわかります。以上から, 非斉次方程式の一般解は

$x = C_1e^{-3t} + C_2e^{-2t} + \dfrac{5}{52}\sin 2t - \dfrac{25}{52}\cos 2t~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)

となります。