(1)
$x_1 = e^t$ とすると

$\dfrac{d^2x_1}{dt^2} = e^t = x_1$

よって $x_1=e^t$ はこの微分方程式の解になります。

同様にして $x_2 = e^{-t}$ もこの微分方程式の解であることがわかります。

また $e^t$, $e^{-t}$ のロンスキアン $W(e^t,e^{-t})$ を計算すると

$W(e^t,e^{-t}) = \left| \begin{array}{cc}e^t & e^{-t} \\ e^t & -e^{-t} \end{array} \right| = -1 -1 = -2\not=0$

$W(e^t,e^{-t}) \not=0$ より $x_1=e^t$ と $x_2=e^{-t}$ は線形独立であることがわかります。

$2$ 階線形微分方程式の一般解は, $2$ つの線形独立な解 $x_1$, $x_2$ を用いて

$x = C_1x_1 + C_2x_2$

と表せるので, この微分方程式の一般解は

$x= C_1e^t + C_2e^{-t}$

となります。

(2)
$t=0$ の時 $x=3$ であるから

$C_1 + C_2 = 3~~\cdots(a)$

また

$\dfrac{dx}{dt} = C_1e^t - C_2e^{-t}$

かつ $t=0$ の時 $\dfrac{dx}{dt} = 5$ であるから

$C_1 - C_2 = 5~~\cdots(b)$

$(a)$, $(b)$ を解くと $C_1 = 4$, $C_2 = -1$ となるので, この微分方程式の特殊解は

$x = 4e^t - e^{-t}$

となります。

(1)
$x = \sin t$ とすると

$\dfrac{dx}{dt} = \cos t$

より

$\dfrac{d^2x}{dt^2} = -\sin t = -x$

よって $x =\sin t$ はこの微分方程式の解であることがわかります。

同様にして $x = \cos t$ もこの微分方程式の解であるので, これらのロンスキアンを計算すると

$W(\sin t,\cos t) = \left| \begin{array}{cc}\sin t & \cos t \\ \cos t & -\sin t \end{array} \right| = -\sin^2 t -\cos^2 t = -1\not=0$

$W(\sin t , \cos t)\not=0$ より, これらは線形独立であることがわかります。

よって, この微分方程式の一般解は

$x = C_1 \sin t + C_2\cos t$

となります。

(2)
$t=0$ の時 $x=3$ であるから

$C_2 = 3$

また $t=\dfrac{\pi}{2}$ の時 $x = 2$ であるから

$C_1 = 2$

よってこの微分方程式の特殊解は

$x = 2\sin t + 3\cos t$

となります。

(1)
$x = e^{\lambda t}$ として微分方程式に代入すると

$\lambda^2 e^{\lambda t} - \lambda e^{\lambda t} -2 e^{\lambda t} = (\lambda^2 - \lambda -2)e^{\lambda t} = 0$

$e^{\lambda t}\not=0$ より, $x = e^{\lambda t}$ が微分方程式の解である時

$\lambda^2 - \lambda -2=0$

となります。

これを解くと $\lambda = -1,2$ であるから $\alpha = -1$, $\beta=2$ であることがわかります。

(2)
(1) より $x_1 = e^{-t}$ と $x_2 = e^{2t}$ はこの微分方程式の解となります。

これらのロンスキアンを計算すると

$W(e^{-t}, e^{2t}) = \left| \begin{array}{cc}e^{-t} & e^{2t} \\ -e^{-t} & 2e^{2t} \end{array} \right|= 2e^t + e^t = 3e^t\not=0$

$W(e^{-t}, e^{2t})\not=0$ より $x_1$ と $x_2$ は線形独立であるから, この微分方程式の一般解は

$x = C_1e^{-t} + C_2e^{2t}$

となります。