I. 合成関数の偏微分を考えよう
要点まとめ
- $2$ 変数関数 $z = f(x,y)$ が全微分可能であり, $x$, $y$ がともに $t$ の関数でかつ微分可能である時, $z = f(x(t),y(t))$ は $t$ に関する $1$ 変数関数であり
$\dfrac{dz}{dt} = \dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}$
が成り立つ。 - また, $x$ と $y$ がともに $u$, $v$ に関する $2$ 変数関数でかつ偏微分可能である時, $z = f(x(u,v),y(u,v))$ は $u$, $v$ に関する $2$ 変数関数であり
$\dfrac{\partial z}{\partial u} = \dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial u}$
$\dfrac{\partial z}{\partial v} = \dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial v}$
が成り立つ。
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