$Q1$.
次の値を計算しなさい。ただし, $i$ は虚数単位とする。
解答・解説を見る$Q2$.
次の値を計算しなさい。ただし, $i$ は虚数単位とする。
解答・解説を見るド・モアブルの定理
$(\cos x + i\sin x)^n = \cos nx + i\sin nx$
を使って計算しましょう。
(1)
ド・モアブルの公式より
$\left( \cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin \dfrac{\pi}{4} \right)^6 = \cos \dfrac{6}{4}\pi + i\sin \dfrac{6}{4}\pi = i\sin \dfrac{3}{2}\pi =-i$
(2)
$1+i = \sqrt{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2}\left( \cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin \dfrac{\pi}{4}\right)$
であるから
$(1+i)7=(√2(cosπ4+isinπ4))7=(√2)7(cos74π+isin74π)=8√2(1√2−i√2)=8−8i$
$Q3$.
オイラーの公式を用いて次の等式が成り立つことを証明しなさい。ただし, $i$ は虚数単位とする。
解答・解説を見る(1)
オイラーの公式から
$eixeiy=(cosx+isinx)(cosy+isiny)=(cosxcosy−sinxsiny)+i(cosxsiny+sinxcosy)=cos(x+y)+isin(x+y)=ei(x+y)$
よって $e^{ix}e^{iy} = e^{i(x+y)}$ が成り立つ。
(2)
オイラーの公式から
$1eix=1cosx+isinx=cosx−isinx(cosx+isinx)(cosx−isinx)=cosx−isinxcos2x+sin2x=cosx−isinx=cos(−x)+isin(−x)=ei(−x)=e−ix$
よって $\dfrac{1}{e^{ix}} = e^{-ix}$ が成り立つ。
この例題から通常の指数法則が成り立つことがわかり, ド・モアブルの定理
$(\cos x + i\sin x)^n = \cos nx + i\sin nx$
が任意の整数 $n$ で成り立つことが示せます。
また, 上の証明で出てきた
$\dfrac{1}{e^{ix}} = e^{-ix} = \cos x - i\sin x$
もよく用いられるので, 慣れておくようにしましょう。
$Q4$.
$z + \dfrac{1}{z} = 1$ を満たす複素数 $z$ を求めなさい。また, この時 $z^{10} + \dfrac{1}{z^{10}}$ を計算しなさい。
解答・解説を見る$z\not=0$ より両辺に $z$ をかけて整理すると
$z^2 - z + 1 =0$
解の公式から
$z = \dfrac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$
となります。またこの時
$z = \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i = \cos \dfrac{\pi}{3} \pm i\sin \dfrac{\pi}{3}$
であるから, ド・モアブルの定理から
$z10+1z10=(cos103π±isin103π)+(cos(−103π)±isin(−103π))=(cos103π±isin103π)+(cos103π∓isin103π)=2cos103π=2cos43π=−1$
オイラーの公式
$e^{ix} = \cos x + i\sin x$
を使って計算しましょう。
(1)
オイラーの公式に代入すると
$e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0 = -1$
(2)
$e^{\frac{i\pi}{2}} = \cos \dfrac{\pi}{2} + i\sin \dfrac{\pi}{2} = i$