$Q1$.
$2$ つの曲線
で囲まれた図形の面積 $S$ を求めなさい。
$Q2$.
曲線 $y=\sqrt{x}$ と直線 $y=2x$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めなさい。
$\sqrt{x} = 2x$ とすると
$4x^2 - x = x(4x-1)=0$
よって交点の $x$ 座標は $x=0,\dfrac{1}{4}$ となります。

$0\leqq x \leqq \dfrac{1}{4}$ の区間では $2x \leqq \sqrt{x}$ であるので, 求める面積 $S$ は
$ S=∫140(√x−2x) dx=[23x32−x2]140=23⋅18−116=112−116=148$
$Q3$.
曲線 $y=x^2-x$ と曲線上の $2$ 点 $(2,2)$, $(-4,20)$ における $2$ つの接線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めなさい。
まず $2$ つの接線の方程式を求めます。
$y' = 2x-1$ より, 点 $(2,2)$ における接線の傾きは $4-1=3$ であるから, 接線の方程式は
$y = 3(x-2)+2 = 3x-4$
となります。
同様に $(-4,20)$ における接線の傾きは $-8-1=-9$ であるから, 接線の方程式は
$y = -9(x+4) + 20 = -9x -16$
となります。
次に $2$ つの接線の交点を求めます。
$3x-4 = -9x-16$
とすると $12x = -12$ より $2$ つの接線の交点の $x$ 座標は $x=-1$ であることがわかります。

区間 $-4 \leqq x \leqq -1$ の部分の面積を考えると
$-9x -16 \leqq x^2 -x$
であるから, その面積 $S_1$ は
$ S1=∫−1−4{x2−x−(−9x−16)} dx=∫−1−4(x2+8x+16) dx=[13x3+4x2+16x]−1−4=(−13+4−16)−(−643+64−64)=9$
また, $-1 \leqq x \leqq 2$ の部分の面積を考えると
$3x-4 \leqq x^2 -x$
であるから, その面積 $S_2$ は
$ S2=∫2−1{x2−x−(3x−4)} dx=∫2−1(x2−4x+4) dx=[13x3−2x2+4x]2−1=(83−8+8)−(−13−2−4)=9$
よって求める面積 $S$ は
$S= S_1+S_2 = 9+9=18$
まず, $2$ つの曲線の交点を求めます。
$x^2-2 = -x^2+2x+2$
とすると
$2x^2 -2x -4 = 2(x+1)(x-2)=0$
よって交点の $x$ 座標は $x=-1,2$ となります。
$-1 \leqq x \leqq 2$ の区間では
$x^2 -2 \leqq -x^2 + 2x + 2$
であるので, 求める面積 $S$ は
$ S=∫2−1{(−x2+2x+2)−(x2−2)} dx=∫2−1(−2x2+2x+4) dx=[−23x3+x2+4x]2−1=(−163+4+8)−(23+1−4)=9$