9. 図形の面積 例題集

$Q1$.
$2$ つの曲線

$y = x^2-2$
$y = -x^2+2x+2$

で囲まれた図形の面積 $S$ を求めなさい。

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$S=9$

まず, $2$ つの曲線の交点を求めます。

$x^2-2 = -x^2+2x+2$

とすると

$2x^2 -2x -4 = 2(x+1)(x-2)=0$

よって交点の $x$ 座標は $x=-1,2$ となります。

$-1 \leqq x \leqq 2$ の区間では

$x^2 -2 \leqq -x^2 + 2x + 2$

であるので, 求める面積 $S$ は

$ S=21{(x2+2x+2)(x22)} dx=21(2x2+2x+4) dx=[23x3+x2+4x]21=(163+4+8)(23+14)=9$

$Q2$.
曲線 $y=\sqrt{x}$ と直線 $y=2x$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めなさい。

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$S = \dfrac{1}{48}$

$\sqrt{x} = 2x$ とすると

$4x^2 - x = x(4x-1)=0$

よって交点の $x$ 座標は $x=0,\dfrac{1}{4}$ となります。

$0\leqq x \leqq \dfrac{1}{4}$ の区間では $2x \leqq \sqrt{x}$ であるので, 求める面積 $S$ は

$ S=140(x2x) dx=[23x32x2]140=2318116=112116=148$

$Q3$.
曲線 $y=x^2-x$ と曲線上の $2$ 点 $(2,2)$, $(-4,20)$ における $2$ つの接線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めなさい。

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$S = 18$

まず $2$ つの接線の方程式を求めます。

$y' = 2x-1$ より, 点 $(2,2)$ における接線の傾きは $4-1=3$ であるから, 接線の方程式は

$y = 3(x-2)+2 = 3x-4$

となります。

同様に $(-4,20)$ における接線の傾きは $-8-1=-9$ であるから, 接線の方程式は

$y = -9(x+4) + 20 = -9x -16$

となります。

次に $2$ つの接線の交点を求めます。

$3x-4 = -9x-16$

とすると $12x = -12$ より $2$ つの接線の交点の $x$ 座標は $x=-1$ であることがわかります。

区間 $-4 \leqq x \leqq -1$ の部分の面積を考えると

$-9x -16 \leqq x^2 -x$

であるから, その面積 $S_1$ は

$ S1=14{x2x(9x16)} dx=14(x2+8x+16) dx=[13x3+4x2+16x]14=(13+416)(643+6464)=9$

また, $-1 \leqq x \leqq 2$ の部分の面積を考えると

$3x-4 \leqq x^2 -x$

であるから, その面積 $S_2$ は

$ S2=21{x2x(3x4)} dx=21(x24x+4) dx=[13x32x2+4x]21=(838+8)(1324)=9$

よって求める面積 $S$ は

$S= S_1+S_2 = 9+9=18$