7. 部分積分法 例題集
$Q1$.
次の不定積分を求めなさい。
(1) $\displaystyle \int x\sin x ~dx$
(2) $\displaystyle \int x^2\cos 2x ~dx$
(3) $\displaystyle \int \log x ~dx$
解答・解説を見る(1) $\displaystyle \sin x - x\cos x + C~~$ ($C$ は積分定数)
(2) $\displaystyle \dfrac{1}{4}\left( (2x^2-1)\sin 2x + 2x\cos 2x \right) +C~~$ ($C$ は積分定数)
(3) $\displaystyle x\log x - x + C~~$ ($C$ は積分定数)
$Q2$.
次の定積分の値を求めなさい。
(1) $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} e^x \cos x ~dx$
(2) $\displaystyle \int_{-2}^2 x^2e^{-x}~dx$
解答・解説を見る(1) $\dfrac{e^{-\pi} - e^{\pi}}{2}$
(2) $2e^2 - 10e^{-2}$
(1)
部分積分を繰り返すと
$∫π−πexcosx dx=[exsinx]π−π−∫π−πexsinx dx=0−([−excosx]π−π−∫π−π−excosx dx)=−(eπ−e−π)−∫π−πexsinx dx$
$\displaystyle I = \int_{-\pi}^{\pi} e^x \cos x ~dx$ とすれば
$I = -(e^{\pi} - e^{-\pi}) - I$
よって $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} e^x \cos x ~dx = \dfrac{e^{-\pi} - e^{\pi}}{2}$ となります。
(2)
部分積分を繰り返すと
$∫2−2x2e−x dx=[x2(−e−x)]2−2−∫2−22x(−e−x) dx=−4e−2+4e2+2∫2−2xe−x dx=−4e−2+4e2+2([x(−e−x)]2−2−∫2−2(−e−x) dx)=−4e−2+4e2+2(−2e−2−2e2+∫2−2e−x dx)=−4e−2+4e2−4e−2−4e2+2∫2−2e−x dx=−8e−2+2[−e−x]2−2=−8e−2−2(e−2−e2)=2e2−10e−2$
部分積分
$\displaystyle \int f(x)g'(x)~dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)~dx$
を利用しましょう。
(1) $\sin x = (-\cos x)'$ であるから
$∫xsinx dx=∫x(−cosx)′ dx=x(−cosx)−∫(x)′(−cosx) dx=−xcosx+∫cosx dx=−xcosx+sinx+C$
(2) $\cos 2x = \left(\dfrac{1}{2}\sin 2x \right)'$ であるから
$∫x2cos2x dx=∫x2(12sin2x)′ dx=x2(12sin2x)−∫(x2)′(12sin2x) dx=12x2sin2x−∫xsin2x dx$
ここで $\sin 2x = \left(-\dfrac{1}{2}\cos 2x \right)'$ であるから
$∫xsin2x dx=∫x(−12cos2x)′ dx=x(−12cos2x)−∫(x)′(−12cos2x) dx=−12xcos2x+12∫cos2x dx=−12xcos2x+14sin2x+C$
よって
$∫x2cos2x dx=12x2sin2x−∫xsin2x dx=12x2sin2x+12xcos2x−14sin2x+C=14((2x2−1)sin2x+2xcos2x)+C$
(3) $1 = (x)'$ であるから
$∫logx dx=∫(x)′logx dx=xlogx−∫x(logx)′ dx=xlogx−∫ dx=xlogx−x+C$