定積分に関して

$f(x)$ が偶関数の時 $\displaystyle \int_{-a}^a f(x)~dx = 2\int_0^a f(x)~dx$

$f(x)$ が奇関数の時 $\displaystyle \int_{-a}^a f(x)~dx = 0$

が成り立ちます。

(1)
$x^n$ は $n$ が偶数の時は偶関数, $n$ が奇数の時は奇関数であるから

$\displaystyle \int_{-1}^1 (3x^3 + 6x^2 -5x+1)~dx$

$\displaystyle = 3\int_{-1}^1 x^3 ~ dx + 6\int_{-1}^1 x^2 ~ dx - 5\int_{-1}^1 x ~ dx + \int_{-1}^1 ~ dx$

$\displaystyle = 12 \int_0^1 x^2 ~dx + 2\int_0^1 ~dx$

$\displaystyle = 12\left[\dfrac{1}{3}x^3 \right]_0^1 + 2\left[ x\right]_0^1 = 4 + 2 = 6 $

(2)
$\sin (-x) = \sin x$ より $\sin x$ は奇関数であり, $\cos (-x) = \cos x$ より $\cos x$ は偶関数であるから

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \left( 4\sin x + 3\cos x\right)~dx & = & 4\int_{-\pi}^{\pi} \sin x ~ dx + 3\int_{-\pi}^{\pi} \cos x ~ dx\\[0.5em] & = & 6\int_{0}^{\pi} \cos x ~dx\\[0.5em] & = & 6\left[ \sin x \right]_0^{\pi} = 6(0-0)=0 \end{eqnarray*}$

(3)
$f(x) = e^x - e^{-x}$ とすると

$f(-x) = e^{-x} - e^{x} = -(e^x - e^{-x}) = -f(x)$

となるので $f(x)$ は奇関数であることがわかります。よって

$\displaystyle \int_{-2}^2 (e^x - e^{-x})~dx = 0$

(1)

$\displaystyle \int_1^{\frac{1}{3}} (x^2 - x +1)~ dx + \int_{\frac{1}{3}}^{-\frac{1}{2}} (x^2 -x + 1)~dx$

$\displaystyle = \int_1^{-\frac{1}{2}} (x^2-x+1)~dx$

$\displaystyle = \left[ \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + x \right]_1^{-\frac{1}{2}}$

$\displaystyle = \dfrac{1}{3}\left( -\dfrac{1}{8} - 1 \right) -\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{4} -1 \right) + \left( -\dfrac{1}{2} -1\right)$

$\displaystyle = -\dfrac{3}{8} +\dfrac{3}{8} - \dfrac{3}{2} = -\dfrac{3}{2}$

(2)

$\displaystyle \int_{0}^{3}(2x^2-x+3) ~ dx - \int_{0}^{-2}(2x^2-x+3)dx$

$\displaystyle = \int_{0}^{3}(2x^2-x+3) ~ dx + \int_{-2}^{0}(2x^2-x+3)dx$

$\displaystyle = \int_{-2}^{3}(2x^2-x+3) ~ dx$

$\displaystyle = \left[ \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 3x \right]_{-2}^3$

$\displaystyle = \dfrac{2}{3}\left( 27 - (-8)\right) - \dfrac{1}{2}\left( 9 -4 \right) + 3(3-(-2))$

$\displaystyle = \dfrac{70}{3} - \dfrac{5}{2} + 15 = \dfrac{215}{6}$