関数 $f(x)$ の原始関数が $F(x)$ である時

$\displaystyle \int_a^b f(x)~dx=\left[ F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$

が成り立ちます。積分の性質

$\displaystyle \int_a^b \left\{ kf(x) + lg(x)\right\} ~ dx = k\int_a^b f(x)~dx + l\int_a^b g(x) ~ dx~~$ ($k,l$ は実数)

等を利用して上手に計算しましょう。

(1)

$\displaystyle \int_{-1}^4(-4) ~dx = -4\int_{-1}^4 ~ dx = -4\left[ x \right]_{-1}^4 = -4\left( 4 - (-1)\right) = -4\cdot 5 = -20$

※ $1$ の積分 $\displaystyle \int_a^b 1 ~dx$ は被積分関数の $1$ を省略して $\displaystyle \int_a^b ~dx$ と表すことがあります。

(2)

$ $$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^3(5x+8) ~dx & = & 5\int_{-1}^3x ~ dx + 8\int_{-1}^3 ~dx\\[0.5em] & = & 5\left[ \dfrac{1}{2}x^2 \right]_{-1}^3 + 8\left[ x \right]_{-1}^3\\[0.5em] & = & 5\left( \dfrac{9}{2} - \dfrac{1}{2}\right) + 8\left( 3 - (-1) \right)\\[0.5em] & = & 20+32 = 52\end{eqnarray*}$$ $

(3)

$ $$\begin{eqnarray*} \int_1^3 (3x^2 -6x-2) ~dx & = & 3\int_1^3 x^2 ~ dx -6\int_1^3 x ~dx - 2\int_1^3 ~dx\\[0.5em] & = & 3\left[ \dfrac{1}{3}x^3 \right]_1^3 - 6\left[ \dfrac{1}{2}x^2 \right]_1^3 - 2\left[ x \right]_1^3 \\[0.5em] & = & 3\left( \dfrac{27 - 1}{3}\right) - 6\left( \dfrac{9-1}{2} \right) -2 (3-1)\\[0.5em] & = & 26 - 24 - 4 = -2\end{eqnarray*}$$ $

(1)

$\displaystyle \int_1^e \dfrac{1}{x}~dx = \left[ \log x\right]_1^e = \log e - \log 1 = 1$

(2)

$ $$\begin{eqnarray*}\int_{4}^9 \left( \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right) ~dx & = & \int_{4}^9 \left( x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} \right) ~dx\\[0.5em] & = & \left[ \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}}\right]_4^9 \\[0.5em] & = & \dfrac{2}{3}( 27 - 8) + 2(3-2) = \dfrac{44}{3} \end{eqnarray*}$$ $

(3)

$ $$\begin{eqnarray*}\int_0^4 \sqrt{2x+1} ~dx & = & \int_0^4 \left(2x+1 \right)^{\frac{1}{2}} ~ dx\\[0.5em] & = & \left[ \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}(2x+1)^{\frac{3}{2}}\right]_0^4 \\[0.5em] & = & \dfrac{1}{3}(27 - 1) = \dfrac{26}{3} \end{eqnarray*}$$ $

(2)

$ $$\begin{eqnarray*}\int_3^8 \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} ~dx & = & \int_3^8 (x+1)^{-\frac{1}{2}} ~dx\\[0.5em] & = & \left[ 2(x+1)^{\frac{1}{2}} \right]_3^8 \\[0.5em] & = & 2( 3 - 2) = 2 \end{eqnarray*}$$ $

(1)
倍角の公式より

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$

であるから

$\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$

が成り立ちます。よって

$ $$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi} \sin^2 x ~ dx & = & \int_0^{\pi} \left( \dfrac{1 - \cos 2x}{2}\right) ~ dx\\[0.5em] & = & \dfrac{1}{2} \int_0^{\pi} ~ dx - \dfrac{1}{2}\int_0^{\pi} \cos 2x ~ dx\\[0.5em] & = & \dfrac{1}{2}\left[ x \right]_0^{\pi} - \dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{1}{2}\sin 2x \right]_0^{\pi}\\[0.5em] & = & \dfrac{1}{2}\left( \pi -0 \right) - \dfrac{1}{4}\left( \sin 2\pi - \sin 0 \right) = \dfrac{\pi}{2}\end{eqnarray*}$$ $

(2)

$\displaystyle \int_{-1}^1 e^{3x}~ dx = \left[ \dfrac{1}{3}e^{3x}\right]_{-1}^1 = \dfrac{1}{3}\left( e^3 - e^{-3}\right)$

直線 $y = ax$ と $x$ 軸は原点で交わるので, 求める面積は

$\displaystyle \int_0^b ax ~dx = a\left[ \dfrac{1}{2}x^2 \right]_0^b = \dfrac{1}{2}ab^2$

より $\dfrac{1}{2}ab^2$ となります。

※ $3$ つの直線で囲まれた図形は直角三角形であり, 底辺の長さが $b$, 高さが $ab$ なのでその面積は

$b \cdot ab \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}ab^2$

となり, 定積分で求めた値と一致することがわかります。