11. 立体の体積 例題集

$Q1$.
次の図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。

$y=2\sqrt{x}$, $x$ 軸, 直線 $x=4$ で囲まれた領域
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$V = 32\pi$

曲線 $y=f(x) ~(a\leqq x \leqq b)$ と $x$ 軸, 直線 $x=a$, $x=b$ で囲まれた領域を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ は

$V = \displaystyle \int_a^b \pi \left\{ f(x) \right\}^2~dx$

で計算できます。

曲線 $y=2\sqrt{x}$ は $x$ 軸と原点で交わるので, 求める体積 $V$ は

$\displaystyle V = \int_0^4 \pi (2\sqrt{x})^2~dx = \int_0^4 4\pi x~dx = \left[2\pi x^2\right]_0^4 = 32\pi$

となります。

$Q2$.
曲線 $y=x^2+x+2$ と直線 $y~2x+2$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。

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$V = \dfrac{29}{30}\pi$

最初に $2$ つの曲線の交点を求めましょう。

$x^2+x+2 = 2x+2$

とすると $x^2 -x= x(x-1)=0$ より $x=0,1$ となります。

積分区間は $0\leqq x \leqq 1$ であり, この区間では $x^2+x+2 \leqq 2x+2$ となります。

よって求める体積 $V$ は, 直線 $y=2x+2$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V_1$ から, 曲線 $y=x^2+x+2$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V_2$ を引いた値になります。

$\displaystyle V_1 = \int_0^1 \pi(2x+2)^2~dx$

であり, また

$\displaystyle V_2 = \int_0^1 \pi (x^2+x+2)^2 ~dx$

であるから求める体積 $V$ は

$V=V1V2=π10(2x+2)2(x2+x+2)2 dx=π10(x42x3x2+4x) dx=π[15x512x413x3+2x2]10=π(151213+2)=2930π$

$Q3$.
次の図形を $y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。

$y=\dfrac{1}{2}x^2$, $y$ 軸, 直線 $y=4$ で囲まれた領域
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$V = 16\pi$

曲線 $x=g(y) ~(a\leqq y \leqq b)$ と $y$ 軸, 直線 $y=a$, $y=b$ で囲まれた領域を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ は

$V = \displaystyle \int_a^b \pi \left\{ g(y) \right\}^2~dy$

で計算できます。

$y$ 軸のまわりに回転させるので $x \geqq 0$ としてよく, この時 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ より

$x = \sqrt{2y}$

となります。よって求める回転体の体積 $V$ は

$\displaystyle V = \int_0^4 \pi (\sqrt{2y})^2~dy = \int_0^4 2\pi y~dy = \left[\pi y^2\right]_0^4 = 16\pi$

となります。

$Q4$.
曲線 $y=\sin x~(0 \leqq x \leqq \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。

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$V = \dfrac{\pi^2}{2}$

$x$ 軸との交点の $x$ 座標は $x=0,\pi$ なので, 求める体積 $V$ は

$V=π0πy2 dx=ππ0sin2x dx=π2π0(1cos2x) dx=π2[x12sin2x]π0=π22$

$Q5$.
曲線 $y=\sin x~(0 \leqq x \leqq \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。

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$V = 2\pi^2$

$y= \sin x$ のグラフは $Q4$ のようになるので, 求める体積 $V$ は下図のように, 赤い部分を回転させたときの体積 $V_1$ から青い部分を回転させたときの体積 $V_2$ を引いた値になります。

まず $V_1$ を求めると

$\displaystyle V_1 = \int_0^1 \pi x^2 ~dy$

となりますが, $y = \sin x$ より $dy = \cos x~dx$ であり

$y=0$ の時 $x=\pi$, $y=1$ の時 $x = \dfrac{\pi}{2}$

となるので

$V1=10πx2 dy=ππ2πx2cosx dx=πππ2x2cosx dx$

となります。同様に $V_2$ を求めると

$\displaystyle V_2 = \int_0^1 \pi x^2 ~dy$

となりますが, この時は

$y=0$ の時 $x=0$, $y=1$ の時 $x = \dfrac{\pi}{2}$

となるので, $dy = \cos x ~dx$ より

$\displaystyle V_2 = \int_0^{1} \pi x^2 ~dy = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x~dx$

以上から, 求める体積 $V$ は

$V=V1V2=πππ2x2cosx dxππ20x2cosx dx=ππ0x2cosx dx$

部分積分を $2$ 回行うと

$V=ππ0x2cosx dx=π([x2sinx]π0π02xsinx dx)=π(0[2xcosx]π0+π0(2cosx) dx)=2π2+2π[sinx]π0=2π2$