$Q1$.
次の図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。
$Q2$.
曲線 $y=x^2+x+2$ と直線 $y~2x+2$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。
最初に $2$ つの曲線の交点を求めましょう。
$x^2+x+2 = 2x+2$
とすると $x^2 -x= x(x-1)=0$ より $x=0,1$ となります。
積分区間は $0\leqq x \leqq 1$ であり, この区間では $x^2+x+2 \leqq 2x+2$ となります。
よって求める体積 $V$ は, 直線 $y=2x+2$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V_1$ から, 曲線 $y=x^2+x+2$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V_2$ を引いた値になります。

$\displaystyle V_1 = \int_0^1 \pi(2x+2)^2~dx$
であり, また
$\displaystyle V_2 = \int_0^1 \pi (x^2+x+2)^2 ~dx$
であるから求める体積 $V$ は
$V=V1−V2=π∫10(2x+2)2−(x2+x+2)2 dx=π∫10(−x4−2x3−x2+4x) dx=π[−15x5−12x4−13x3+2x2]10=π(−15−12−13+2)=2930π$
$Q3$.
次の図形を $y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。
曲線 $x=g(y) ~(a\leqq y \leqq b)$ と $y$ 軸, 直線 $y=a$, $y=b$ で囲まれた領域を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ は
$V = \displaystyle \int_a^b \pi \left\{ g(y) \right\}^2~dy$
で計算できます。
$y$ 軸のまわりに回転させるので $x \geqq 0$ としてよく, この時 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ より
$x = \sqrt{2y}$
となります。よって求める回転体の体積 $V$ は
$\displaystyle V = \int_0^4 \pi (\sqrt{2y})^2~dy = \int_0^4 2\pi y~dy = \left[\pi y^2\right]_0^4 = 16\pi$
となります。
$Q4$.
曲線 $y=\sin x~(0 \leqq x \leqq \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。
$x$ 軸との交点の $x$ 座標は $x=0,\pi$ なので, 求める体積 $V$ は
$V=∫π0πy2 dx=π∫π0sin2x dx=π2∫π0(1−cos2x) dx=π2[x−12sin2x]π0=π22$

$Q5$.
曲線 $y=\sin x~(0 \leqq x \leqq \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。
$y= \sin x$ のグラフは $Q4$ のようになるので, 求める体積 $V$ は下図のように, 赤い部分を回転させたときの体積 $V_1$ から青い部分を回転させたときの体積 $V_2$ を引いた値になります。

まず $V_1$ を求めると
$\displaystyle V_1 = \int_0^1 \pi x^2 ~dy$
となりますが, $y = \sin x$ より $dy = \cos x~dx$ であり
$y=0$ の時 $x=\pi$, $y=1$ の時 $x = \dfrac{\pi}{2}$
となるので
$V1=∫10πx2 dy=π∫π2πx2cosx dx=−π∫ππ2x2cosx dx$
となります。同様に $V_2$ を求めると
$\displaystyle V_2 = \int_0^1 \pi x^2 ~dy$
となりますが, この時は
$y=0$ の時 $x=0$, $y=1$ の時 $x = \dfrac{\pi}{2}$
となるので, $dy = \cos x ~dx$ より
$\displaystyle V_2 = \int_0^{1} \pi x^2 ~dy = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x~dx$
以上から, 求める体積 $V$ は
$V=V1−V2=−π∫ππ2x2cosx dx−π∫π20x2cosx dx=−π∫π0x2cosx dx$
部分積分を $2$ 回行うと
$V=−π∫π0x2cosx dx=−π([x2sinx]π0−∫π02xsinx dx)=−π(0−[−2xcosx]π0+∫π0(−2cosx) dx)=2π2+2π[sinx]π0=2π2$
曲線 $y=f(x) ~(a\leqq x \leqq b)$ と $x$ 軸, 直線 $x=a$, $x=b$ で囲まれた領域を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ は
$V = \displaystyle \int_a^b \pi \left\{ f(x) \right\}^2~dx$
で計算できます。
曲線 $y=2\sqrt{x}$ は $x$ 軸と原点で交わるので, 求める体積 $V$ は
$\displaystyle V = \int_0^4 \pi (2\sqrt{x})^2~dx = \int_0^4 4\pi x~dx = \left[2\pi x^2\right]_0^4 = 32\pi$
となります。