10. 曲線の長さ 例題集

$Q1$.
次の曲線の長さ $L$ を求めなさい。

$y = x^{\frac{3}{2}}~~(0\leqq x \leqq 1)$
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$L=\dfrac{13\sqrt{13} - 8}{27}$

区間 $[a,b]$ における, 曲線 $y= f(x)$ の長さ $L$ は

$\displaystyle L = \int_a^b \sqrt{1+ \left\{ f'(x) \right\}^2 }~dx$

で計算できます。

$y = x^{\frac{3}{2}}$ より

$y' = \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

であるから

$1+ (y')^2 = 1+\dfrac{9}{4}x = \dfrac{9x+4}{4}$

よって曲線の長さ $L$ は

$L=109x+44 dx=12109x+4 dx=12[227(9x+4)32]10=127(13138)$

$Q2$.
次の曲線の長さ $L$ を求めなさい。

$y = \sqrt{x} - \dfrac{1}{3}x\sqrt{x}~~(1\leqq x \leqq 4)$
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$L=\dfrac{10}{3}$

$y = x^{\frac{1}{2}} - \dfrac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}$ より

$y' = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}\left( x^{-\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \right)$

であるから

$1+(y)2=1+14(x12x12)2=1+14(x12+x)=14(x1+2+x)=14(x12+x12)2$

よって曲線の長さ $L$ は

$L=4114(x12+x12)2 dx=1241(x12+x12) dx=12[2x12+23x32]41=12(28383)=103$

$Q3$.
次の曲線の長さ $L$ を求めなさい。

$x^2 + y^2 = r^2$
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$L=2\pi r$

この曲線は半径 $r$ の円であるから, その円周の長さは $2\pi r$ であることを "知って" いますが, ここでは直接計算して求めてみましょう。

求める曲線の長さは, 曲線

$y = \sqrt{r^2 - x^2}~~\left( -\dfrac{r}{\sqrt{2}} \leqq x \leqq \dfrac{r}{\sqrt{2}}\right)$

の長さを $4$ 倍した値になります。

この曲線は元の曲線の $\dfrac{1}{4}$ を, $y\geqq 0$ かつ $y$ 軸に関して対称になるように切り取った曲線であることに注意しましょう。

すると, 求める曲線の長さ $L$ は

$\displaystyle L = 4\int_{-\frac{r}{\sqrt{2}}}^{\frac{r}{\sqrt{2}}} \sqrt{1 + (y')^2}~dx$

となります。

$1 + (y')^2 = 1 + \left( \dfrac{-2x}{2\sqrt{r^2 - x^2}}\right)^2 = \dfrac{r^2}{r^2-x^2}$

であるから, これは偶関数であることに注意すると

$\displaystyle L = 4\int_{-\frac{r}{\sqrt{2}}}^{\frac{r}{\sqrt{2}}} \sqrt{\dfrac{r^2}{r^2-x^2}}~dx = 8r\int_0^{\frac{r}{\sqrt{2}}} \dfrac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}~dx$

$x = r\sin t$ と置くと, $dx = r\cos t~dt$ であり

$x=0$ の時 $t=0$, $x=\dfrac{r}{\sqrt{2}}$ の時 $t = \dfrac{\pi}{4}$

よって

$L=8rr201r2x2 dx=8rπ40rcostr2r2sin2t dt=8rπ40cost1sin2t dt=8rπ40 dt=2πr$