$Q1$.
次の関数を微分しなさい。
解答・解説を見る$Q2$.
次の関数を微分しなさい。
解答・解説を見る(1)
$f'(x) = 4(x^2 -5x-5)^3\cdot (x^2-5x-5)' = 4(2x-5)(x^2-5x-5)^3$
(2)
$f'(x) = \cos (2x^3 -5x + 4)\cdot (2x^3 -5x+4)' = (6x^2 -5)\cos (2x^3 -5x+4)$
(3)
$f'(x) = e^{\cos x}\cdot (\cos x)' = -e^{\cos x}\sin x$
$Q3$.
次の関数を微分しなさい。
解答・解説を見る逆関数の微分法
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$
を利用すると無理関数の導関数が得られます。
(1)
$y=\sqrt{x}$ とすると $x = y^2$ であるから
$\dfrac{dx}{dy} = 2y$
$y=\sqrt{x}$ であるから, 逆関数の微分法より
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}} = \dfrac{1}{2y} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
(2)
$y=x^{\frac{1}{3}}$ とすると $x =y^3$ であるから
$\dfrac{dx}{dy} = 3y^2$
逆関数の微分法より
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}} = \dfrac{1}{3y^2} = \dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$
$x^\frac{2}{3} = (x^2)^{\frac{1}{3}}$ であるから, 合成関数の微分法より
$f'(x) = \left\{ (x^2)^{\frac{1}{3}}\right\}' = \dfrac{1}{3}(x^2)^{-\frac{2}{3}}\cdot (x^2)' = \dfrac{2}{3}x^{1 - \frac{4}{3}} = \dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$
(3)
$f(x) = \dfrac{1}{(x^2+1)^{\frac{1}{2}}}$
であるから
$f′(x)=−{(x2+1)12}′x2+1=− (x2+1)′2(x2+1)12 x2+1=−x(x2+1)1+12=−x(x2+1)−32$
$Q4$.
次の等式を証明しなさい。
解答・解説を見る$n$ は有理数なので, 整数 $p$, $q$ を用いて $n = \dfrac{p}{q}~~(q\not=0)$ と表せる。
$y = x^{\frac{1}{q}}$ とすると $x = y^q$ であるから
$\dfrac{dx}{dy} = qy^{q-1}$
よって
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ \dfrac{dx}{dy} } = \dfrac{1}{qy^{q-1}} = \dfrac{1}{q} x^{-\frac{q-1}{q}}$
$x^n = \left( x^p\right)^{\frac{1}{q}}$ であるから合成関数の微分法より
$\left( x^n \right)' = \dfrac{1}{q}\left(x^p \right)^{-\frac{q-1}{q}}\cdot \left( x^p \right)' = \dfrac{p}{q}x^{ p-1 - \frac{p(q-1)}{q} } = \dfrac{p}{q}x^{ \frac{p}{q} - 1} = nx^{n-1}$
よって有理数 $n$ に対し $\left( x^n\right) = nx^{n-1}$ が成り立つ。
$Q5$.
次の関数を微分しなさい。
解答・解説を見る(1)
$\sqrt[3]{x^2+1} = (x^2+1)^{\frac{1}{3}}$ であるから
$f′(x)=e3√x2+1(3√x2+1)′=13(x2+1)−23⋅2x⋅e3√x2+1=2xe3√x2+133√(x2+1)2$
(2)
$f′(x)=−sin(√x2+4)⋅(√x2+4)′=−sin(√x2+4)⋅(x2+4)′2√x2+4=−xsin(√x2+4)√x2+4$
合成関数の微分法
$\left\{ f(g(x))\right\}' = f'(g(x))g'(x)$
を利用します。
(1)
$g(x) = x^6$, $h(x) = x-3$ とすると
$f(x) = g(h(x))$
であるから, $g'(x) = 6x^5$, $h'(x) = 1$ より
$f'(x) = g'(h(x))h'(x) = 6(h-3)^5\cdot 1 = 6(x-3)^5$
(2)
$g(x) = e^x$, $h(x) = x^2$ とすると
$f(x) = g(h(x))$
であるから, $g'(x) = e^x$, $h'(x) = 2x$ より
$f'(x) = g'(h(x))h'(x) = e^{x^2}\cdot 2x = 2xe^{x^2}$
(3)
$g(x) = \sin x$, $h(x) = 12x$ とすると
$f(x) = g(h(x))$
であるから, $g'(x) = \cos x$, $h'(x) = 12$ より
$f'(x) = g'(h(x))h'(x) = \cos 12x\cdot 12 = 12\cos 12x$