$x\not=2$ の時

$\displaystyle \dfrac{x^2 -x - 2}{x-2} = \dfrac{(x+1)(x-2)}{x-2} = x+1$

であるから

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2} \dfrac{x^2 -x - 2}{x-2} & = & \lim_{x\to 2}(x+1) \\[1em] & = & 2+1 = 3 \end{eqnarray*}$

である。

$x\not=-5$ の時

$\displaystyle \dfrac{x^2 + 15x + 50}{x+5} = \dfrac{(x+5)(x+10)}{x+5} = x+10$

であるから

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -5} \dfrac{x^2 + 15x + 50}{x+5} & = & \lim_{x\to -5}(x+10) \\[1em] & = & -5+10 = 5 \end{eqnarray*}$

である。

$x\not=2$ の時

$\displaystyle \dfrac{x^2 + 6x -16}{x^2 + x - 6} = \dfrac{(x+8)(x-2)}{(x+3)(x-2)} = \dfrac{x+8}{x+3}$

であるから

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2} \dfrac{x^2 + 6x -16}{x^2 + x - 6} & = & \lim_{x\to 2}\dfrac{x+8}{x+3} \\[1em] & = & \dfrac{2+8}{2+3} = 2 \end{eqnarray*}$

である。

$x\not=8$ の時

$\displaystyle \dfrac{x^4 - 4096}{x^2-64} = \dfrac{(x^2+64)(x^2 - 64)}{x^2 - 64} = x^2+64 $

であるから

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 8} \dfrac{x^4 -4096}{x^2-64} & = & \lim_{x\to 8}(x^2 + 64) \\[1em] & = & 64 + 64 = 128 \end{eqnarray*}$

である。