(1)
分子, 分母ともに $x=2\pi$ の近くで微分可能であり

$x\to 2\pi$ の時, $\sin x \to 0$ かつ $x-2\pi \to 0$

であるから, ロピタルの定理より

$\displaystyle \lim_{x \to 2\pi} \dfrac{\sin x}{x -2\pi} = \lim_{x\to 2\pi} \dfrac{ (\sin x)'}{(x-2\pi)'} = \lim_{x\to 2\pi} \dfrac{ \cos x }{1} = 1$

(2)
分子, 分母ともに $x=0$ の近くで微分可能であり

$x\to 0$ の時, $4(x -\tan x) \to 0$ かつ $x^2 \to 0$

であるから, ロピタルの定理より

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \dfrac{4(x-\tan x)}{x^2} & = & \lim_{x\to 0} \dfrac{ \left(4(x-\tan x)\right)'}{(x^2)'}\\[1em] & = & \lim_{x\to 0} \dfrac{ 4\left(1-\dfrac{1}{\cos^2 x}\right) }{2x} \\[1em] & = & \lim_{x\to 0} \dfrac{ 2\left(\cos^2 x-1 \right) }{x\cos^2 x} \\[1em] & = & -\lim_{x\to 0} \dfrac{ 2\sin^2 x }{x\cos^2 x} = -2 \lim_{x\to 0} \dfrac{ \tan^2 x }{x} \end{eqnarray*}$

ここで

$x\to 0$ の時, $\tan^2 x \to 0$ かつ $x \to 0$

であるから, もう一度ロピタルの定理を使うと

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{ \tan^2 x }{x} = \lim_{x\to 0} \dfrac{\left(\tan^2 x\right)'}{(x)'} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ 2\tan x\cdot \left(\dfrac{1}{\cos^2 x}\right) }{1} = \dfrac{2\cdot 0\cdot 1}{1}= 0$

よって

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4(x-\tan x)}{x^2} = -2 \lim_{x\to 0} \dfrac{ \tan^2 x }{x} - -2\cdot 0 = 0$

(3)
分子, 分母ともに $x=0$ の近くで微分可能であり

$x\to 0$ の時, $\cos x - 1 \to 0$ かつ $x^2 \to 0$

であるから, ロピタルの定理より

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ (\cos x - 1)'}{(x^2)'} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ -\sin x }{2x} = -\dfrac{1}{2}\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = -\dfrac{1}{2}$

(4)
分子, 分母ともに $x=0$ の近くで微分可能であり

$x\to 0$ の時, $\sin x - x \to 0$ かつ $x^3 \to 0$

であるから, ロピタルの定理より

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ (\sin x - x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ \cos x - 1 }{3x^2} = \dfrac{1}{3}\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x -1 }{x^2}$

ここで (3) より $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x -1 }{x^2} = -\dfrac{1}{2}$ であるから

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^3} = \dfrac{1}{3}\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x -1 }{x^2} = \dfrac{1}{3}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{6}$

(1)
ロピタルの定理を $2$ 回使うと

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \dfrac{e^x -x -1}{x^2} & = & \lim_{x\to 0} \dfrac{(e^x -x -1)'}{(x^2)'}\\[1em] & = & \lim_{x\to 0} \dfrac{e^x -1}{2x} = \lim_{x\to 0} \dfrac{(e^x -1)'}{(2x)'} = \lim_{x\to 0} \dfrac{e^x}{2}= \dfrac{1}{2} \end{eqnarray*}$

(2)

$x\to \infty$ の時, $e^x \to \infty$ かつ $x^k \to \infty~~(k\gt 0)$

なので, ロピタルの定理より

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \dfrac{e^x}{x^3} & = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{(e^x)'}{(x^3)'}\\[1em] & = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{e^x}{3x^2} = \lim_{x\to \infty} \dfrac{(e^x)'}{(3x^2)'}\\[1em] & = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{e^x}{6x} = \lim_{x\to \infty} \dfrac{(e^x)'}{(6x)'} = \lim_{x\to \infty} \dfrac{e^x}{6} = \infty \end{eqnarray*}$

(3)

$\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{\log x}{x-1} = \lim_{x\to 1}\dfrac{(\log x)'}{(x-1)'} = \lim_{x\to 1}\dfrac{~\dfrac{1}{x}~}{1} = 1$

(4)

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{\log x}{x} = \lim_{x\to \infty}\dfrac{(\log x)'}{(x)'} = \lim_{x\to \infty}\dfrac{~\dfrac{1}{x}~}{1} = \dfrac{0}{1}=0$