14. 不定形の極限 例題集
$Q1$.
次の極限値を求めなさい。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 2\pi} \dfrac{\sin x}{x-2\pi}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{4(x-\tan x)}{x^2}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\cos x -1}{x^2}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^3}$
(1) $1$
(2) $0$
(3) $-\dfrac{1}{2}$
(4) $-\dfrac{1}{6}$
$Q2$.
次の極限値を求めなさい。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{e^x -x -1}{x^2}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{e^x}{x^3}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 1} \dfrac{\log x }{x -1}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{\log x }{x}$
(1) $\dfrac{1}{2}$
(2) $\infty$
(3) $1$
(4) $0$
(1)
ロピタルの定理を $2$ 回使うと
$limx→0ex−x−1x2=limx→0(ex−x−1)′(x2)′=limx→0ex−12x=limx→0(ex−1)′(2x)′=limx→0ex2=12$
(2)
$x\to \infty$ の時, $e^x \to \infty$ かつ $x^k \to \infty~~(k\gt 0)$
なので, ロピタルの定理より
$limx→∞exx3=limx→∞(ex)′(x3)′=limx→∞ex3x2=limx→∞(ex)′(3x2)′=limx→∞ex6x=limx→∞(ex)′(6x)′=limx→∞ex6=∞$
(3)
$\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{\log x}{x-1} = \lim_{x\to 1}\dfrac{(\log x)'}{(x-1)'} = \lim_{x\to 1}\dfrac{~\dfrac{1}{x}~}{1} = 1$
(4)
$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{\log x}{x} = \lim_{x\to \infty}\dfrac{(\log x)'}{(x)'} = \lim_{x\to \infty}\dfrac{~\dfrac{1}{x}~}{1} = \dfrac{0}{1}=0$
(1)
分子, 分母ともに $x=2\pi$ の近くで微分可能であり
$x\to 2\pi$ の時, $\sin x \to 0$ かつ $x-2\pi \to 0$
であるから, ロピタルの定理より
$\displaystyle \lim_{x \to 2\pi} \dfrac{\sin x}{x -2\pi} = \lim_{x\to 2\pi} \dfrac{ (\sin x)'}{(x-2\pi)'} = \lim_{x\to 2\pi} \dfrac{ \cos x }{1} = 1$
(2)
分子, 分母ともに $x=0$ の近くで微分可能であり
$x\to 0$ の時, $4(x -\tan x) \to 0$ かつ $x^2 \to 0$
であるから, ロピタルの定理より
$limx→04(x−tanx)x2=limx→0(4(x−tanx))′(x2)′=limx→04(1−1cos2x)2x=limx→02(cos2x−1)xcos2x=−limx→02sin2xxcos2x=−2limx→0tan2xx$
ここで
$x\to 0$ の時, $\tan^2 x \to 0$ かつ $x \to 0$
であるから, もう一度ロピタルの定理を使うと
$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{ \tan^2 x }{x} = \lim_{x\to 0} \dfrac{\left(\tan^2 x\right)'}{(x)'} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ 2\tan x\cdot \left(\dfrac{1}{\cos^2 x}\right) }{1} = \dfrac{2\cdot 0\cdot 1}{1}= 0$
よって
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4(x-\tan x)}{x^2} = -2 \lim_{x\to 0} \dfrac{ \tan^2 x }{x} - -2\cdot 0 = 0$
(3)
分子, 分母ともに $x=0$ の近くで微分可能であり
$x\to 0$ の時, $\cos x - 1 \to 0$ かつ $x^2 \to 0$
であるから, ロピタルの定理より
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ (\cos x - 1)'}{(x^2)'} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ -\sin x }{2x} = -\dfrac{1}{2}\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = -\dfrac{1}{2}$
(4)
分子, 分母ともに $x=0$ の近くで微分可能であり
$x\to 0$ の時, $\sin x - x \to 0$ かつ $x^3 \to 0$
であるから, ロピタルの定理より
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ (\sin x - x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ \cos x - 1 }{3x^2} = \dfrac{1}{3}\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x -1 }{x^2}$
ここで (3) より $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x -1 }{x^2} = -\dfrac{1}{2}$ であるから
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^3} = \dfrac{1}{3}\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x -1 }{x^2} = \dfrac{1}{3}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{6}$