$Q1$.
次の複素数を $a+bi$ ($a$, $b$ は実数) の形で表しなさい。
$Q2$.
次の等式が成り立つように実数 $a$, $b$ の値を定めなさい。
複素数において, $a+bi=c+di$ が成り立つのは $a=c$ かつ $b=d$ の時のみとなります。
(1)
$a+bi=c+di$ ならば $a=c$ かつ $b=d$ なので, 実部と虚部を比べると
$2−a=−1b+1=2$
これを解くと, $a = 3$, $b=1$ となります。
(2)
左辺を整理すると
$(−9−2i)a+(6+3i)b=(−9a+6b)+(−2a+3b)i$
よって両辺の実部と虚部を比べると
$−9a+6b=3−2a+3b=4$
この連立方程式を解くと $a=1$, $b=2$ となります。
$Q3$.
次の値を計算し, $a+bi$ ($a$, $b$ は実数) の形で表しなさい。
(1)
複素数の和・差は実部同士, 虚部同士をそれぞれ計算します。
$(1+2i)+(4−6i)=(1+4)+(2−6)i=5−4i$
(2)
分配法則を利用して計算します。$i^2=-1$ に注意しましょう。
$(3+2i)(4+5i)=12+15i+8i−10=2+23i$
(3)
$i^2=-1$ に注意しましょう。
$(−1+3i)2=(−1)2−2×3i+(3i)2=1−6i−9=−8−6i$
(4)
$(a+b)(a-b) = a^2 -b^2$ を利用します。
分子と分母にそれぞれ $3+5i$ をかけると
$13−5i=3+5i(3+5i)(3−5i)=3+5i32−(5i)2=3+5i9+25=334+534i$
(5)
分子と分母にそれぞれ $3+4i$ をかけると
$−2+2i3−4i=(−2+2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−6−8i+6i−89+16=−1425−225i$
$Q4$.
$\alpha = 3+4i$ とした時, 次の値を計算しなさい。
複素数 $z = a + bi$ に対し, $a-bi$ を $z$ の共役複素数といい $\bar{z}$ で表します。
(1)
$\alpha + \bar{\alpha} = (3+4i) + (3-4i) = 6$
(2)
$\alpha - \bar{\alpha} = (3+4i) - (3-4i) = 8i$
(3)
$αˉα=(3+4i)(3−4i)=9+16=25$
(4)
複素数 $z = a + bi$ に対し, $\sqrt{a^2 + b^2}$ を $z$ の絶対値といい $|z|$ で表します。
$|α|=√32+42=√25=5$
(1)
$i^2=-1$ であるから
$i^5 = i^{2\times 2 +1} = \left(i^2 \right)^2 i = (-1)^2i=i$
(2)
分子と分母にそれぞれ $i$ をかけると
$i = \dfrac{i}{i^2} = \dfrac{i}{-1} = -i$
(3)
正の実数 $a$ に対し, $\sqrt{-a} = \sqrt{a}i$ と定めたので
$-1 + \sqrt{-2} = -1 + \sqrt{2}i$
(4)
$\dfrac{1}{i^3} = \dfrac{i}{i^4} = \dfrac{i}{(-1)^2} = i$
であるから
$\dfrac{1}{-2i^3} = -\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{i^3} = -\dfrac{1}{2} i$