$Q1$.
次の分数式を既約分数式に直しなさい。
$Q2$.
次の計算をしなさい。
(1)
$\dfrac{A}{B}\times C = \dfrac{AC}{B}$ となります。因数分解して既約分数式に直しましょう。
$x2−4x−21x2+12x+35×(x+7)=(x+3)(x−7)(x+7)(x+5)×(x+7)=(x+3)(x−7)(x+7)(x+7)(x+5)=(x+3)(x−7)x+5$
(2)
$\dfrac{A}{B}\times \dfrac{C}{D} = \dfrac{AC}{BD}$ となります。共通の因数は約分してしまいましょう。
$x2−2x−8x2+6x−7×x2+5x−14x2−16=(x+2)(x−4)(x+7)(x−1)×(x+7)(x−2)(x+4)(x−4)=(x+2)(x−2)(x−1)(x+4)$
(3)
$\dfrac{A}{B} \div C = \dfrac{A}{BC}$ となります。
$x+1x+3÷(x+1)=x+1(x+3)(x+1)=1x+3$
(4)
$\dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{AD}{BC}$ となります。見た目に惑わされず, 落ち着いて計算しましょう。
$x3−86x2+7x+2÷x4−163x2+11x+6=(x−2)(x2+2x+4)(3x+2)(2x+1)÷(x+2)(x−2)(x2+4)(3x+2)(x+3)=(x−2)(x2+2x+4)(3x+2)(2x+1)×(3x+2)(x+3)(x+2)(x−2)(x2+4)=(x+3)(x2+2x+4)(x+2)(2x+1)(x2+4)$
$Q3$.
次の式を計算しなさい。
分数式の和・差は分母を通分してから分子同士を計算します。
(1)
$4x2−1+6x2+5x+4=4(x+1)(x−1)+6(x+4)(x+1)=4(x+4)+6(x−1)(x+4)(x+1)(x−1)=10(x+1)(x+4)(x+1)(x−1)=10(x+4)(x−1)$
(2)
$x−1x2−2x−3−x+3x2+3x+2=x−1(x+1)(x−3)−x+3(x+2)(x+1)=(x−1)(x+2)−(x+3)(x−3)(x+2)(x+1)(x−3)=(x2+x−2)−(x2−9)(x+2)(x+1)(x−3)=x+7(x+2)(x+1)(x−3)$
(3)
$1x−3−1x+3+2xx2−9=(x+3)−(x−3)(x+3)(x−3)+2x(x+3)(x−3)=6+2x(x+3)(x−3)=2(x+3)(x+3)(x−3)=2x−3$
$Q4$. [発展問題]
次の式を計算しなさい。
分数式の分子や分母にも分数式が含まれている時は, 分子と分母を整理することから始めましょう。
そして $\dfrac{A}{B} = A \div B$ であることから
$\dfrac{~\dfrac{A}{B}~}{~\dfrac{C}{D}~} = \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \times \dfrac{D}{C} = \dfrac{AD}{BC}$
となることがわかります。
(1)
分母を整理すると
$1 + \dfrac{5}{x-5} = \dfrac{(x-5)+5}{x-5} = \dfrac{x}{x-5}$
よって
$\dfrac{x}{~~1+ \dfrac{5}{x-5}~~} = \dfrac{x}{~~\dfrac{x}{x-5}~~} = x\times \dfrac{x-5}{x} = x-5$
(2)
分子を整理すると
$x+1+\dfrac{4}{x-4} = \dfrac{(x+1)(x-4) +4}{x-4} = \dfrac{x^2-3x}{x-4}$
また, 分母を整理すると
$x-1-\dfrac{4}{x-4} = \dfrac{(x-1)(x-4) -4}{x-4} = \dfrac{x^2-5x}{x-4}$
よって
$ x+1+4x−4 x−1−4x−4= x2−3xx−4 x2−5xx−4=x(x−3)x−4×x−4x(x−5)=x−3x−5$
(3)
分数式の分母の分数式にも分数式が含まれていますが, 計算方法は変わりません。$1$ つ $1$ つ順番に整理していきましょう。
分母の分数式を整理すると
$\dfrac{4}{~1-\dfrac{4}{x}~} = \dfrac{4}{~\dfrac{x-4}{x}~} =\dfrac{4x}{x-4}$
同様に計算すると $\dfrac{4}{~1 + \dfrac{4}{x}~} = \dfrac{4x}{x+4}$ となるので分母は
$41−4x−41+4x=4xx−4−4xx+4=4x(x+4)−4x(x−4)(x+4)(x−4)=32x(x+4)(x−4)$
となります。よって
$32x 41−4x−41+4x =32x 32x(x+4)(x−4) =32x×(x+4)(x−4)32x=(x+4)(x−4)$
分子と分母に共通の因数で約分することで既約分数式に直します。
(1)
分子と分母に $(x-1)$ があるので, $(x-1)$ で約分します。
$\dfrac{x-1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{1}{x+2}$
(2)
$(x+1)(x+4)$ で約分すると。
$(x−2)(x+1)(x+2)(x+4)(x−1)(x+1)(x+4)(x+6)(x+8)=(x−2)(x+2)(x−1)(x+6)(x+8)$
(3)
分子と分母を因数分解すると $(x+1)$ で約分できることがわかります。
$x2−3x−4x2−1=(x+1)(x−4)(x+1)(x−1)=x−4x−1$
(4)
分子と分母を因数分解すると $(x-1)$ で約分できることがわかります。
$x4−1x3−3x2+3x−1=(x2−1)(x2+1)(x−1)3=(x−1)(x+1)(x2+1)(x−1)3=(x+1)(x2+1)(x−1)2$