分子と分母に共通の因数で約分することで既約分数式に直します。

(1)
分子と分母に $(x-1)$ があるので, $(x-1)$ で約分します。

$\dfrac{x-1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{1}{x+2}$

(2)
$(x+1)(x+4)$ で約分すると。

$\begin{eqnarray*} \dfrac{(x-2)(x+1)(x+2)(x+4)}{(x-1)(x+1)(x+4)(x+6)(x+8)} & = & \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+6)(x+8)} \end{eqnarray*}$

(3)
分子と分母を因数分解すると $(x+1)$ で約分できることがわかります。

$\begin{eqnarray*} \dfrac{x^2-3x-4}{x^2-1} & = & \dfrac{(x+1)(x-4)}{(x+1)(x-1)}\\[0.5em] & = & \dfrac{x-4}{x-1} \end{eqnarray*}$

(4)
分子と分母を因数分解すると $(x-1)$ で約分できることがわかります。

$\begin{eqnarray*} \dfrac{x^4-1}{x^3 -3x^2 + 3x -1} & = & \dfrac{(x^2-1)(x^2+1)}{(x-1)^3}\\[0.5em] & = & \dfrac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{(x-1)^3}\\[0.5em] & = & \dfrac{(x+1)(x^2+1)}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

(1)
$\dfrac{A}{B}\times C = \dfrac{AC}{B}$ となります。因数分解して既約分数式に直しましょう。

$\begin{eqnarray*} \dfrac{x^2-4x-21}{x^2+12x+35} \times (x+7) & = & \dfrac{(x+3)(x-7)}{(x+7)(x+5)} \times (x+7)\\[0.5em] & = & \dfrac{(x+3)(x-7)(x+7)}{(x+7)(x+5)} \\[0.5em] & = & \dfrac{(x+3)(x-7)}{x+5} \end{eqnarray*}$

(2)
$\dfrac{A}{B}\times \dfrac{C}{D} = \dfrac{AC}{BD}$ となります。共通の因数は約分してしまいましょう。

$\begin{eqnarray*} \dfrac{x^2-2x-8}{x^2+6x-7} \times \dfrac{x^2+5x-14}{x^2-16} & = & \dfrac{(x+2)(x-4)}{(x+7)(x-1)} \times \dfrac{(x+7)(x-2)}{(x+4)(x-4)}\\[0.5em] & = & \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)(x+4)} \end{eqnarray*}$

(3)
$\dfrac{A}{B} \div C = \dfrac{A}{BC}$ となります。

$\begin{eqnarray*} \dfrac{x+1}{x+3} \div (x+1) & = & \dfrac{x+1}{(x+3)(x+1)}\\[0.5em] & = & \dfrac{1}{x+3} \end{eqnarray*}$

(4)
$\dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{AD}{BC}$ となります。見た目に惑わされず, 落ち着いて計算しましょう。

$\begin{eqnarray*} \dfrac{ x^3 - 8}{6x^2 + 7x + 2} \div \dfrac{x^4 - 16}{3x^2 + 11x + 6} & = & \dfrac{(x-2)(x^2 +2x +4)}{(3x+2)(2x+1)} \div \dfrac{(x+2)(x-2)(x^2+4)}{(3x+2)(x+3)}\\[0.5em] & = & \dfrac{(x-2)(x^2 +2x +4)}{(3x+2)(2x+1)} \times \dfrac{(3x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)(x^2+4)}\\[0.5em] & = & \dfrac{(x+3)(x^2+2x+4)}{(x+2)(2x+1)(x^2+4)} \end{eqnarray*}$

分数式の和・差は分母を通分してから分子同士を計算します。

(1)

$\begin{eqnarray*} \dfrac{4}{x^2-1} + \dfrac{6}{x^2+5x+4} & = & \dfrac{4}{(x+1)(x-1)} + \dfrac{6}{(x+4)(x+1)}\\[0.5em] & = & \dfrac{4(x+4) + 6(x-1)}{(x+4)(x+1)(x-1)} \\[0.5em] & = & \dfrac{10(x+1)}{(x+4)(x+1)(x-1)} \\[0.5em] & = & \dfrac{10}{(x+4)(x-1)} \end{eqnarray*}$

(2)

$\begin{eqnarray*} \dfrac{x-1}{x^2-2x-3} - \dfrac{x+3}{x^2+3x+2} & = & \dfrac{x-1}{(x+1)(x-3)} - \dfrac{x+3}{(x+2)(x+1)} \\[0.5em] & = & \dfrac{(x-1)(x+2) - (x+3)(x-3)}{(x+2)(x+1)(x-3)} \\[0.5em] & = & \dfrac{(x^2+x-2) - (x^2-9)}{(x+2)(x+1)(x-3)} \\[0.5em] & = & \dfrac{x+7}{(x+2)(x+1)(x-3)} \end{eqnarray*}$

(3)

$\begin{eqnarray*} \dfrac{1}{x-3} - \dfrac{1}{x+3} + \dfrac{2x}{x^2-9} & = & \dfrac{(x+3) - (x-3)}{(x+3)(x-3)} + \dfrac{2x}{(x+3)(x-3)} \\[0.5em] & = & \dfrac{6 + 2x}{(x+3)(x-3)} \\[0.5em] & = & \dfrac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \dfrac{2}{x-3} \end{eqnarray*}$

分数式の分子や分母にも分数式が含まれている時は, 分子と分母を整理することから始めましょう。

そして $\dfrac{A}{B} = A \div B$ であることから

$\dfrac{~\dfrac{A}{B}~}{~\dfrac{C}{D}~} = \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \times \dfrac{D}{C} = \dfrac{AD}{BC}$

となることがわかります。

(1)
分母を整理すると

$1 + \dfrac{5}{x-5} = \dfrac{(x-5)+5}{x-5} = \dfrac{x}{x-5}$

よって

$\dfrac{x}{~~1+ \dfrac{5}{x-5}~~} = \dfrac{x}{~~\dfrac{x}{x-5}~~} = x\times \dfrac{x-5}{x} = x-5$

(2)
分子を整理すると

$x+1+\dfrac{4}{x-4} = \dfrac{(x+1)(x-4) +4}{x-4} = \dfrac{x^2-3x}{x-4}$

また, 分母を整理すると

$x-1-\dfrac{4}{x-4} = \dfrac{(x-1)(x-4) -4}{x-4} = \dfrac{x^2-5x}{x-4}$

よって

$\begin{eqnarray*}\dfrac{~~ x+1 +\dfrac{4}{x-4} ~~}{ x-1- \dfrac{4}{x-4} } & = & \dfrac{~~\dfrac{x^2-3x}{x-4}~~}{\dfrac{x^2-5x}{x-4}} \\[1em] & = & \dfrac{x(x-3)}{x-4}\times \dfrac{x-4}{x(x-5)} = \dfrac{x-3}{x-5}\end{eqnarray*}$

(3)
分数式の分母の分数式にも分数式が含まれていますが, 計算方法は変わりません。$1$ つ $1$ つ順番に整理していきましょう。

分母の分数式を整理すると

$\dfrac{4}{~1-\dfrac{4}{x}~} = \dfrac{4}{~\dfrac{x-4}{x}~} =\dfrac{4x}{x-4}$

同様に計算すると $\dfrac{4}{~1 + \dfrac{4}{x}~} = \dfrac{4x}{x+4}$ となるので分母は

$\begin{eqnarray*}\dfrac{4}{1-\dfrac{4}{x}} - \dfrac{4}{1+\dfrac{4}{x}} & = & \dfrac{4x}{x-4} - \dfrac{4x}{x+4}\\[0.5em] & = & \dfrac{4x(x+4) - 4x(x-4)}{(x+4)(x-4)}\\[1em] & = & \dfrac{32x}{(x+4)(x-4)}\end{eqnarray*}$

となります。よって

$\begin{eqnarray*}\dfrac{32x}{~~\dfrac{4}{1-\dfrac{4}{x}} - \dfrac{4}{1+\dfrac{4}{x}}~~} & = & \dfrac{32x}{~\dfrac{32x}{(x+4)(x-4)}~}\\[0.5em] & = & 32x\times \dfrac{(x+4)(x-4)}{32x} = (x+4)(x-4)\end{eqnarray*}$