分数式の計算 例題集

$Q1$.
次の分数式を既約分数式に直しなさい。

(1) $\dfrac{x-1}{(x-1)(x+2)}$
(2) $\dfrac{(x-2)(x+1)(x+2)(x+4)}{(x-1)(x+1)(x+4)(x+6)(x+8)}$
(3) $\dfrac{x^2-3x-4}{x^2-1}$
(4) $\dfrac{x^4-1}{x^3-3x^2+3x-1}$
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(1) $\dfrac{1}{x+2}$
(2) $\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+6)(x+8)}$
(3) $\dfrac{x-4}{x-1}$
(4) $\dfrac{(x+1)(x^2+1)}{(x-1)^2}$

分子と分母に共通の因数で約分することで既約分数式に直します。

(1)
分子と分母に $(x-1)$ があるので, $(x-1)$ で約分します。

$\dfrac{x-1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{1}{x+2}$

(2)
$(x+1)(x+4)$ で約分すると。

$(x2)(x+1)(x+2)(x+4)(x1)(x+1)(x+4)(x+6)(x+8)=(x2)(x+2)(x1)(x+6)(x+8)$

(3)
分子と分母を因数分解すると $(x+1)$ で約分できることがわかります。

$x23x4x21=(x+1)(x4)(x+1)(x1)=x4x1$

(4)
分子と分母を因数分解すると $(x-1)$ で約分できることがわかります。

$x41x33x2+3x1=(x21)(x2+1)(x1)3=(x1)(x+1)(x2+1)(x1)3=(x+1)(x2+1)(x1)2$

$Q2$.
次の計算をしなさい。

(1) $\dfrac{x^2-4x-21}{x^2+12x+35} \times (x+7)$
(2) $\dfrac{x^2-2x-8}{x^2+6x-7} \times \dfrac{x^2+5x-14}{x^2-16}$
(3) $\dfrac{x+1}{x+3} \div (x+1)$
(4) $\dfrac{ x^3 - 8}{6x^2 + 7x + 2} \div \dfrac{x^4 - 16}{3x^2 + 11x + 6}$
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(1) $\dfrac{(x+3)(x-7)}{x+5}$
(2) $\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)(x+4)}$
(3) $\dfrac{1}{x+3}$
(4) $\dfrac{(x+3)(x^2+2x+4)}{(x+2)(2x+1)(x^2+4)}$

(1)
$\dfrac{A}{B}\times C = \dfrac{AC}{B}$ となります。因数分解して既約分数式に直しましょう。

$x24x21x2+12x+35×(x+7)=(x+3)(x7)(x+7)(x+5)×(x+7)=(x+3)(x7)(x+7)(x+7)(x+5)=(x+3)(x7)x+5$

(2)
$\dfrac{A}{B}\times \dfrac{C}{D} = \dfrac{AC}{BD}$ となります。共通の因数は約分してしまいましょう。

$x22x8x2+6x7×x2+5x14x216=(x+2)(x4)(x+7)(x1)×(x+7)(x2)(x+4)(x4)=(x+2)(x2)(x1)(x+4)$

(3)
$\dfrac{A}{B} \div C = \dfrac{A}{BC}$ となります。

$x+1x+3÷(x+1)=x+1(x+3)(x+1)=1x+3$

(4)
$\dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{AD}{BC}$ となります。見た目に惑わされず, 落ち着いて計算しましょう。

$x386x2+7x+2÷x4163x2+11x+6=(x2)(x2+2x+4)(3x+2)(2x+1)÷(x+2)(x2)(x2+4)(3x+2)(x+3)=(x2)(x2+2x+4)(3x+2)(2x+1)×(3x+2)(x+3)(x+2)(x2)(x2+4)=(x+3)(x2+2x+4)(x+2)(2x+1)(x2+4)$

$Q3$.
次の式を計算しなさい。

(1) $\dfrac{4}{x^2-1} + \dfrac{6}{x^2+5x+4}$
(2) $\dfrac{x-1}{x^2-2x-3} - \dfrac{x+3}{x^2+3x+2}$
(3) $\dfrac{1}{x-3} - \dfrac{1}{x+3} + \dfrac{2x}{x^2-9}$
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(1) $\dfrac{10}{(x+4)(x-1)}$
(2) $\dfrac{x+7}{(x+2)(x+1)(x-3)}$
(3) $\dfrac{2}{x-3}$

分数式の和・差は分母を通分してから分子同士を計算します。

(1)

$4x21+6x2+5x+4=4(x+1)(x1)+6(x+4)(x+1)=4(x+4)+6(x1)(x+4)(x+1)(x1)=10(x+1)(x+4)(x+1)(x1)=10(x+4)(x1)$

(2)

$x1x22x3x+3x2+3x+2=x1(x+1)(x3)x+3(x+2)(x+1)=(x1)(x+2)(x+3)(x3)(x+2)(x+1)(x3)=(x2+x2)(x29)(x+2)(x+1)(x3)=x+7(x+2)(x+1)(x3)$

(3)

$1x31x+3+2xx29=(x+3)(x3)(x+3)(x3)+2x(x+3)(x3)=6+2x(x+3)(x3)=2(x+3)(x+3)(x3)=2x3$

$Q4$. [発展問題]
次の式を計算しなさい。

(1) $\dfrac{x}{~~1+ \dfrac{5}{x-5}~~}$
(2) $\dfrac{~~ x+1 +\dfrac{4}{x-4} ~~}{ x-1- \dfrac{4}{x-4} }$
(3) $\dfrac{32x}{~~\dfrac{4}{1-\dfrac{4}{x}} - \dfrac{4}{1+\dfrac{4}{x}}~~}$
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(1) $x-5$
(2) $\dfrac{x-3}{x-5}$
(3) $(x-4)(x+4)$

分数式の分子や分母にも分数式が含まれている時は, 分子と分母を整理することから始めましょう。

そして $\dfrac{A}{B} = A \div B$ であることから

$\dfrac{~\dfrac{A}{B}~}{~\dfrac{C}{D}~} = \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \times \dfrac{D}{C} = \dfrac{AD}{BC}$

となることがわかります。

(1)
分母を整理すると

$1 + \dfrac{5}{x-5} = \dfrac{(x-5)+5}{x-5} = \dfrac{x}{x-5}$

よって

$\dfrac{x}{~~1+ \dfrac{5}{x-5}~~} = \dfrac{x}{~~\dfrac{x}{x-5}~~} = x\times \dfrac{x-5}{x} = x-5$

(2)
分子を整理すると

$x+1+\dfrac{4}{x-4} = \dfrac{(x+1)(x-4) +4}{x-4} = \dfrac{x^2-3x}{x-4}$

また, 分母を整理すると

$x-1-\dfrac{4}{x-4} = \dfrac{(x-1)(x-4) -4}{x-4} = \dfrac{x^2-5x}{x-4}$

よって

$  x+1+4x4  x14x4=  x23xx4  x25xx4=x(x3)x4×x4x(x5)=x3x5$

(3)
分数式の分母の分数式にも分数式が含まれていますが, 計算方法は変わりません。$1$ つ $1$ つ順番に整理していきましょう。

分母の分数式を整理すると

$\dfrac{4}{~1-\dfrac{4}{x}~} = \dfrac{4}{~\dfrac{x-4}{x}~} =\dfrac{4x}{x-4}$

同様に計算すると $\dfrac{4}{~1 + \dfrac{4}{x}~} = \dfrac{4x}{x+4}$ となるので分母は

$414x41+4x=4xx44xx+4=4x(x+4)4x(x4)(x+4)(x4)=32x(x+4)(x4)$

となります。よって

$32x  414x41+4x  =32x 32x(x+4)(x4) =32x×(x+4)(x4)32x=(x+4)(x4)$