$Q1$.
次の単項式の係数と次数を求めなさい。
解答・解説を見る$Q2$.
次の $x$ に関する多項式の次数を求めなさい。
解答・解説を見る式の中に現れる単項式の中の最大次数を, その多項式の次数といいます。
ある特定の文字に着目した場合, それ以外の文字は定数として扱われます。
(1)
次数が最も大きい単項式は $4x^2$ なので, この多項式の次数は $2$ となります。
(2)
変数 $x$ に着目しているので, $y$ は定数として扱われます。よって次数が最も大きい項は $x^4y^5$ であり, その次数は $4$ となります。
(3)
こちらも変数 $x$ に着目しているので, $y$ は定数として扱われます。よって次数が最も大きい項は $2x^2y$ であり, その次数は $2$ となります。
$Q3$.
次の $x$ に関する多項式を整理し, 降べきの順に直しなさい。
解答・解説を見る次数の大きい項から順に並べることを, 降べきの順に整理するといいます。
この時, 同類項は $1$ つの単項式にまとめて表します。
(1)
左から次数の大きい順に並び替えると解答のようになります。
(2)
同類項は $1$ つの項にまとめて整理します。
$\begin{eqnarray*} 2x +4x^4 -5+x^4 -7x^3-3x & = & (4+1)x^4 -7x^3 +(2-3)x -5\\[0.5em] & = & 5x^4-7x^3-x-5\end{eqnarray*}$
(3)
$x$ に着目しているので, $y$ は定数として扱われます。
$\begin{eqnarray*} x^3 + 2xy^2 -x +1 -xy^2 +3y +2x^2 & = & x^3 +2x^2 +(2y^2-y^2-1)x+3y+1\\[0.5em] & = & x^3 +2x^2 + (y^2-1)x+3y+1 \end{eqnarray*}$
$Q4$.
$A = 4x^2+2xy+2y^2$, $B=5x^2+2xy+5y^2$ のとき, 次の式を計算しなさい。
解答・解説を見る整式どうしの和・差の計算は, 同類項ごとに計算します。
(1)
$\begin{eqnarray*} A+B & = & (4x^2+2xy+2y^2)+(5x^2+2xy+5y^2)\\[0.5em] & = & (4+5)x^2+(2+2)xy+(2+5)y^2\\[0.5em] & = & 9x^2 + 4xy + 7y^2 \end{eqnarray*}$
(2)
$\begin{eqnarray*} 2A-B & = & 2(4x^2+2xy+2y^2)-(5x^2+2xy+5y^2)\\[0.5em] & = & (8-5)x^2+(4-2)xy+(4-5)y^2\\[0.5em] & = & 3x^2 + 2xy - y^2 \end{eqnarray*}$
(3)
与えられた式を整理してから計算を行いましょう。
$\begin{eqnarray*} (3A-B) - (A+2B) & = & (3-1)A + (-1-2)B\\[0.5em] & = & 2A-3B\\[0.5em] & = & 2(4x^2+2xy+2y^2)-3(5x^2+2xy+5y^2)\\[0.5em] & = & (8-15)x^2+(4-6)xy+(4-15)y^2\\[0.5em] & = & -7x^2 - 2xy - 11y^2 \end{eqnarray*}$
単項式に現れる数の部分を係数といい, 単項式に現れる文字の個数を次数といいます。
(1)
$4x^2 = 4\times x \times x$ なので, 係数 (数の部分) は $4$, $x$ が $2$ 個現れているので次数は $2$ となります。
(2)
$y^5 = 1 \times y^5$ なので, 係数は $1$, 次数は $5$ となります。係数が $1$ の時は省略して書かれることに注意しましょう。
(3)
$4\pi r^2 = 4\pi \times r \times r$ なので, 係数は $4\pi$, 次数は $2$ となります。
ここで, $\pi$ は $\pi=3.1415\cdots$ という定数なので数として扱われることに注意しましょう。