$Q1$.
次の $2$ 次関数の値域を求めなさい。
$Q2$.
次の $2$ 次関数の最大値または最小値を求めなさい。また, その時の $x$ の値を求めなさい。
(1)
右辺を平方完成すると
$\begin{eqnarray*}y & = & 2(x-1)^2 +3\end{eqnarray*}$
$(x-1)^2 \geqq 0$ より
$2(x-1)^2 + 3 \geqq 3$
であり, 特に等号は $x=1$ の時のみ成り立ちます。
よって $y$ は $x=1$ の時, 最小値 $3$ を取り, 最大値は存在しません。
(2)
$\begin{eqnarray*}y & = & -(x-4)^2 +13\end{eqnarray*}$
であり, $(x-4)^2 \geqq 0$ より
$-(x-4)^2 \leqq 0$
よって
$-(x-4)^2 +13 \leqq 13$
等号は $x=4$ の時のみ成り立ちます。
以上から $y$ は $x=4$ の時, 最大値 $13$ を取り, 最小値は存在しません。
$Q3$.
次の $2$ 次関数の最大値と最小値を求めなさい。また, その時の $x$ の値を求めなさい。
(1)
右辺を平方完成すると
$\begin{eqnarray*}y & = & (x+1)^2 - 4 ~~ (-4 \leqq x \leqq -2)\end{eqnarray*}$
このグラフを書くと図のようになります。
図より, $x=-4$ の時, 最大値 $y=5$ を取り, $x=-2$ の時, 最小値 $y=-3$ を取ることがわかります。
(2)
(1) と同様に
$\begin{eqnarray*}y & = & (x+1)^2 - 4 ~~ (-4 \leqq x \leqq 2)\end{eqnarray*}$
このグラフを書くと図のようになります。
図より, $x=-4$ と $x=2$ の時, 最大値 $y=5$ を取り, $x=-1$ の時, 最小値 $y=-4$ を取ることがわかります。
(3)
右辺を平方完成すると
$\begin{eqnarray*}y & = & (x+4)^2 - 19 ~~ (-7 \leqq x \leqq -2)\end{eqnarray*}$
このグラフを書くと図のようになります。
図より, $x=-7$ の時, 最大値 $y=-10$ を取り, $x=-4$ の時, 最小値 $y=-19$ を取ることがわかります。
$Q4$.
ある工場の製品は, 単価が $60$ 円の時 $300$ 個売れる。
この製品は単価を $1$ 円値上げすると, 販売個数が $2$ 個下がることがわかっている。
この時, 売上を最大にするには単価をいくらにすればよいか答えなさい。またこの時の売上を求めなさい。
単価を $x$ 円値上げすると販売個数は $2x$ 個下がるので, 単価が $(60+x)$ 円の時, この製品は $(300 -2x)$ 個売れることになります。
よって, 売上を $y$ とすると, 単価 $(60+x)$ 円の時の売上は
$\begin{eqnarray*}y & = & (60+x)(300-2x)\\[0.5em] & = & -2x^2 + 180x +18000\end{eqnarray*}$
となります。平方完成すると
$\begin{eqnarray*}y & = & -2(x-45)^2 + 22050\end{eqnarray*}$
よって $x=45$ の時, $y$ は最大値 $22050$ を取ることがわかります。
以上から, 単価 $60+45=105$ 円の時, 売上は最大となり, その時の金額は $22050$ 円になります。
平方完成して
$y = a(x-p)^2 +q$
の形にし, $a$ の符号と $q$ の値で判断します。
(1)
$x$ が実数の時, 常に $x^2 \geqq 0$ なので $y$ の値域は $y \geqq 0$ となります。
(2)
$x$ が実数の時, $x^2 \geqq 0$ なので $2x^2 \geqq 0$ です。
よって $y$ の値域は $y \geqq 0$ となります。
(3)
$x$ が実数の時, $x^2 \geqq 0$ なので $-3x^2 \leqq 0$ です。
よって $y$ の値域は $y \leqq 0$ となります。
(4)
$x^2 \geqq 0$ より $x^2 +3 \geqq 3$ です。
よって $y$ の値域は $y \geqq 3$ となります。
(5)
右辺を平方完成すると
$y = -(x-1)^2 + 1$
$(x-1)^2 \geqq 0$ より $-(x-1)^2 \leqq 0$ なので
$-(x-1)^2 +1 \leqq 1$
よって $y$ の値域は $y \leqq 1$ となります。
(6)
右辺を平方完成すると
$y = (x-2)^2 + 2$
ここで, $(x-2)^2 \geqq 0$ より
$(x-2)^2 +2 \geqq 2$
よって $y$ の値域は $y \geqq 2$ となります。