$Q1$.
次の式が $x$ についての恒等式になるように $a$, $b$, $c$ の値を定めなさい。
解答・解説を見る$Q2$.
次の式が $x$ についての恒等式になるように $a$, $b$, $c$ の値を定めなさい。
解答・解説を見る(1)
右辺を通分して整理すると
$ax−2+bx−3=a(x−3)+b(x−2)(x−2)(x−3)=(a+b)x−(3a+2b)(x−2)(x−3)$
よって分子を比較すれば, $(a+b)x-(3a+2b)=1$ となればよいことがわかります。
${a+b=0−(3a+2b)=1$
であるので, これを解くと $a=-1$, $b=1$ となります。
(2)
右辺を通分して整理すると
$ax+2+bx−1+cx+1=a(x−1)(x+1)+b(x+2)(x+1)+c(x+2)(x−1)(x+2)(x−1)(x+1)=(a+b+c)x2+(3b+c)x+(−a+2b−2c)(x+2)(x−1)(x+1)$
両辺の分子を比較すれば
${a+b+c=03b+c=0−a+2b−2c=6$
であればよいことがわかります。
この連立 $1$ 次方程式を解くと $a=2$, $b=1$, $c=-3$ となります。
[別解]
両辺に $x+2$ をかけて, $x=-2$ を代入すると
$\dfrac{6}{(-3)\cdot (-1)} = a$
より, $a=2$ となります。
また, 両辺に $x-1$ をかけて, $x=1$ を代入すれば
$b = \dfrac{6}{3\cdot 2} = 1$
両辺に $x+1$ をかけて, $x=-1$ を代入すれば
$c = \dfrac{6}{1\cdot (-2)} = -3$
以上から, $a=2$, $b=1$, $c=-3$ となります。
(3)
右辺を通分して整理すると
$ax+2+bx+1+c(x+1)2=a(x+1)2+b(x+2)(x+1)+c(x+2)(x+2)(x+1)2=(a+b)x2+(2a+3b+c)x+(a+2b+2c)(x+2)(x+1)2$
両辺の分子を比較すれば
${a+b=02a+3b+c=2a+2b+2c=−1$
これを解くと $a=-5$, $b=5$, $c = -3$ となります。
(1)
左辺を整理すると
$a(x+2)2+b(x+2)+c=a(x2+4x+4)+b(x+2)+c=ax2+(4a+b)x+(4a+2b+c)$
よって
$3x^2 -3x+2 = ax^2+(4a+b)x+(4a+2b+c)$
各項の係数を比較すると
${a=34a+b=−34a+2b+c=2$
この連立 $1$ 次方程式を解くと $a=3$, $b=-15$, $c=20$ となります。
(2)
両辺から $2$ を引き, 右辺を展開すると
$a(x^2+4x+3)+b(x^2+3x+2)+c(x^2+5x+6)-2=0$
となります。整理すると
$(a+b+c)x^2 + (4a+3b+5c)x+(3a+2b+6c-2)=0$
この式が恒等式であるためには, 各項の係数が $0$ であればよいので
${a+b+c=04a+3b+5c=03a+2b+6c=2$
が成り立てばよいことになります。
この連立 $1$ 次方程式を解くと $a=-2$, $b=1$, $c=1$ であることがわかります。
[別解]
$x=-2$ を代入すると
$a\cdot 1\cdot (-1) + b\cdot(-1)\cdot 0 + c\cdot 0 \cdot 1 = 2$
整理すると $a=-2$ を得ることができます。
同様に $x=-3$ を代入すると $b=1$ であり,
$x=-1$ を代入すると $c=1$ を得ることができます。