14. 三角関数 例題集

$Q1$.
次の値を求めなさい。

(1) $\sin 900^\circ$
(2) $\sin \left( -600^\circ \right)$
(3) $\cos 585^\circ$
(4) $\cos \left(-1050^\circ \right)$
(5) $\tan 945^\circ$
(6) $\tan \left( -510^\circ \right)$
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(1) $0$
(2) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
(3) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(4) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
(5) $1$
(6) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

(1)

$sin900=sin(180+3602)=sin180=0$

(2)

$sin(600)=sin(1203602)=sin120=32$

(3)

$cos585=cos(225+360)=cos225=22$

(4)

$cos(1050)=cos(303603)=cos30=32$

(4)

$tan945=tan(225+3602)=tan225=1$

(6)

$tan(510)=tan(2103602)=tan210=33$

$Q2$.
次の等式が成り立つことを示しなさい。

(1) $\dfrac{\sin \theta}{1+\cos \theta} + \dfrac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \dfrac{2}{\sin \theta}$
(2) $\dfrac{1}{\tan \theta} + \dfrac{1}{\sin \theta} = \dfrac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}$
(3) $\sin^2 \theta + \cos^4 \theta = \cos^2 \theta + \sin^4 \theta$
(4) $\dfrac{\tan \theta}{\sin \theta} - \dfrac{\sin \theta}{\tan \theta} = \sin \theta \tan \theta$
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(1)

$\dfrac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \dfrac{\sin \theta(1 - \cos \theta)}{1-\cos^2 \theta} = \dfrac{\sin \theta(1-\cos \theta)}{\sin^2 \theta} = \dfrac{1-\cos \theta}{\sin \theta}$

より

$\dfrac{\sin \theta}{1+\cos \theta} + \dfrac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \dfrac{1- \cos \theta}{\sin \theta} + \dfrac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \dfrac{2}{\sin \theta}$

(2)

$1tanθ+1sinθ=cosθsinθ+1sinθ=1+cosθsinθ=1cos2θsinθ(1cosθ)=sin2θsinθ(1cosθ)=sinθ1cosθ$

(3)

$sin2θ+cos4θ=sin2θ+(1sin2θ)2=sin2θ+(12sin2θ+sin4θ)=(1sin2θ)+sin4θ=cos2θ+sin4θ$

(4)

$\dfrac{\tan \theta}{\sin \theta} = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\cdot \dfrac{1}{\sin \theta} = \dfrac{1}{\cos \theta}$

より

$tanθsinθsinθtanθ=1cosθcosθ=1cos2θcosθ=sin2θcosθ=sinθsinθcosθ=sinθtanθ$