二項定理より

$(x+2)^5 = {}_5{\rm C}_0 2^5 x^0 + {}_5{\rm C}_1 2^4 x^1 + {}_5{\rm C}_2 2^3 x^2 + {}_5{\rm C}_3 2^2 x^3 + {}_5{\rm C}_4 2^1 x^4 + {}_5{\rm C}_5 2^5 x^5$

よって $x^3$ の係数は

${}_5{\rm C}_3 \cdot 2^2=10\cdot 4=40$

$(3x-2y)^5 = \left(3x+(-2y)\right)^5$ なので, 二項定理より $x^2y^3$ を含む項は

${}_5{\rm C}_3(3x)^2(-2y)^3 = 10\cdot (9x^2)\cdot (-8y^3) = -720x^2y^3$

よって $x^2y^3$ の係数は $-720$ になります。