初項 $-5$, 公差 $2$ の等差数列なので, その一般項は

$a_n = -5 + 2(n-1) = 2n - 7$

となります。

初項 $-5$, 公比 $3$ の等比数列なので, その一般項は

$a_n = -5 \cdot 3^{n-1}$

となります。

特性方程式

$\alpha = 4\alpha + 3$

を解くと $\alpha = -1$ となるので, 与えられた漸化式は

$a_{n+1} + 1 = 4(a_n + 1)$

と変形できることがわかります。また

$a_1 + 1 = 2+1=3$

より数列 $\{ a_n +1\}$ は初項 $3$, 公比 $4$ の等比数列になります。よってその一般項は

$a_n + 1 = 3\cdot 4^{n-1}$

以上より

$a_n = 3\cdot 4^{n-1} - 1$

与えられた数列を変形すると

$a_{n+1} - a_n = 4n + 9$

階差数列 $b_n = a_{n+1} - a_n$ を考えると

$\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k$

が成り立つので, $b_n = 4n+9$ であることに注意すると

$\begin{eqnarray*}a_n & = & a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k \\[1em] & = & 3 + \sum_{k=1}^{n-1}(4k+9)\\[1em] & = & 3 + \dfrac{4}{2}n(n-1) + 9(n-1)\\[1em] & = & 2n^2 + 7n - 6\end{eqnarray*}$

よって $a_n = 2n^2 +7n -6$ となります。