$m \times n$ 行列 $A$ に対し, その行と列を入れ換えた $n \times m$ 行列を $A$ の転置行列といい ${}^t\!A$ と表します。

(1)
行と列を入れ換えればよいので, 元の行列の第 $i$ 行が, 転置行列の第 $i$ 列になります。

${\vphantom{ $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ }}^t\! $$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{4} \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{3} \\ \color{red}{2} & \color{blue}{4} \end{pmatrix}$$ $

となります。

(2)
行と列の長さが異なる時は, 行列の型が変わることに注意しましょう。

${\vphantom{ $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ }}^t\! $$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 10 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}$$ $

(3)

${\vphantom{ $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$$ }}^t\! $$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $

(4)

${\vphantom{ $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ }}^t\! $$\begin{pmatrix} 2 & 5 & -2\\ 1 & -1 & 4 \\ 3 & -3 & 9 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 5 & -1 & -3 \\ -2 & 4 & 9 \end{pmatrix}$$ $

(1)

$AB = $$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ $

より ${}^t\!(AB) = $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$$ $ となります。

(2)

$BA = $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}$$ $

より ${}^t\!(BA) = $$\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$$ $ となります。

(3)

${}^t\!A{}^t\!B = $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$$ $

(4)

${}^t\!B{}^t\!A = $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$$ $

※

この例からもわかるように, 一般に ${}^t\!(AB) = {}^t\!B{}^t\!A$ が成り立ちます。

まず $ABC$ を計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} ABC & = & \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 7 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よって ${}^t\!(ABC) = $$\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}$$ $ となります。

また

$ $$\begin{eqnarray*} {}^t\!C{}^t\!B{}^t\!A & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -2 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

となります。

※

一般に ${}^t\!(ABC) = {}^t\!C{}^t\!B{}^t\!A$ も成り立ちます。

${}^t\!A =A$ が成り立つ行列を対称行列といいます。

${}^t\!A = $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & b \\ a & -2 & c \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$ $

であるから $A$ が対称行列ならば

$ $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & b \\ a & -2 & c \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 1 & a & 4 \\ -2 & -2 & -3 \\ b & c & 1 \end{pmatrix}$$ $

成分を比べれば $a=-2$, $b=4$, $c=-3$ となります。

${}^t\!A = -A$ が成り立つ行列を交代行列といいます。

${}^t\!A = $$\begin{pmatrix} 0 & a & -3 \\ 1 & b & -5 \\ 3 & c & 0 \end{pmatrix}$$ $

であるから $A$ が交代行列ならば

$ $$\begin{pmatrix} 0 & a & -3 \\ 1 & b & -5 \\ 3 & c & 0 \end{pmatrix}$$ = - $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ a & b & c \\ -3 & -5 & 0 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 & -1 & -3 \\ -a & -b & -c \\ 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}$$ $

成分を比べれば $a=-1$, $c=5$ であり, 特に

$b=-b$

より $b=0$ となります。