$Q1$.
次の行列の転置行列を計算しなさい。
解答・解説を見る$Q2$.
$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ に対し, 次の行列を計算しなさい。ここで, ${}^t\!A$ は $A$ の転置行列を表す。
解答・解説を見る(1)
$AB = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
より ${}^t\!(AB) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$ となります。
(2)
$BA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}$
より ${}^t\!(BA) = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$ となります。
(3)
${}^t\!A{}^t\!B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$
(4)
${}^t\!B{}^t\!A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$
※
この例からもわかるように, 一般に ${}^t\!(AB) = {}^t\!B{}^t\!A$ が成り立ちます。
$Q3$.
次の行列 $A$, $B$, $C$ について, ${}^t\!(ABC)$ と ${}^t\!C{}^t\!B{}^t\!A$ を計算しなさい。
解答・解説を見るまず $ABC$ を計算すると
$\begin{eqnarray*} ABC & = & \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 7 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって ${}^t\!(ABC) =\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}$ となります。
また
$\begin{eqnarray*} {}^t\!C{}^t\!B{}^t\!A & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -2 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
となります。
※
一般に ${}^t\!(ABC) = {}^t\!C{}^t\!B{}^t\!A$ も成り立ちます。
$Q4$.
行列 $\begin{pmatrix} 1 & a & 4 \\ -2 & -2 & -3 \\ b & c & 1 \end{pmatrix}$ が対称行列である時, $a$, $b$, $c$ の値を求めなさい。
解答・解説を見る${}^t\!A =A$ が成り立つ行列を対称行列といいます。
${}^t\!A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & b \\ a & -2 & c \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}$
であるから $A$ が対称行列ならば
$\begin{pmatrix} 1 & -2 & b \\ a & -2 & c \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a & 4 \\ -2 & -2 & -3 \\ b & c & 1 \end{pmatrix}$
成分を比べれば $a=-2$, $b=4$, $c=-3$ となります。
$Q5$.
行列 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ a & b & c \\ -3 & -5 & 0 \end{pmatrix}$ が交代行列である時, $a$, $b$, $c$ の値を求めなさい。
解答・解説を見る${}^t\!A = -A$ が成り立つ行列を交代行列といいます。
${}^t\!A = \begin{pmatrix} 0 & a & -3 \\ 1 & b & -5 \\ 3 & c & 0 \end{pmatrix}$
であるから $A$ が交代行列ならば
$\begin{pmatrix} 0 & a & -3 \\ 1 & b & -5 \\ 3 & c & 0 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ a & b & c \\ -3 & -5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -3 \\ -a & -b & -c \\ 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}$
成分を比べれば $a=-1$, $c=5$ であり, 特に
$b=-b$
より $b=0$ となります。
$Q6$ [応用問題].
複素数 $\alpha = a + bi$ ($i$ は虚数単位) に対し, $2$ 次の正方行列 $A_{\alpha}$ を
$A_{\alpha} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$
と定める。この時, 次が成り立つことを証明しなさい。ここで $\bar{\alpha}$ は複素数 $\alpha$ の共役複素数を表す。
解答・解説を見る(1)
$\alpha = a+bi$ とすると $\bar{\alpha} = a -bi$ であるから
$A_{\bar{\alpha}} = \begin{pmatrix} a & -(-b) \\ -b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} = {}^t\!A_{\alpha}$
よって ${}^t\!A_{\alpha} = A_{\bar{\alpha}}$ が成り立つ。
(2)
$A_{\alpha}$ の定め方から
$\alpha = \beta \Leftrightarrow A_{\alpha} = A_{\beta}$
であることに注意する。また, 複素数 $\alpha$ に対し
$\alpha$ が実数 $\Leftrightarrow$ $\bar{\alpha} = \alpha$
であるから
$A_{\alpha}$ が対称行列 $\Leftrightarrow$ ${}^t\!A_{\alpha} = A_{\alpha}$ $\Leftrightarrow$ $A_{\bar{\alpha}} = A_{\alpha}$ $\Leftrightarrow$ $\bar{\alpha} = \alpha$ $\Leftrightarrow$ $\alpha$ が実数
よって主張が成り立つ。
(3)
同様に, 複素数 $\alpha$ に対し
$\bar{\alpha} = -\alpha$ $\Leftrightarrow$ $\alpha$ が純虚数
であるから
$A_{\alpha}$ が交代行列 $\Leftrightarrow$ ${}^t\!A_{\alpha} = -A_{\alpha}$ $\Leftrightarrow$ $A_{\bar{\alpha}} = A_{-\alpha}$ $\Leftrightarrow$ $\bar{\alpha} = -\alpha$ $\Leftrightarrow$ $\alpha$ が純虚数
よって主張が成り立つ。
$m \times n$ 行列 $A$ に対し, その行と列を入れ換えた $n \times m$ 行列を $A$ の転置行列といい ${}^t\!A$ と表します。
(1)
行と列を入れ換えればよいので, 元の行列の第 $i$ 行が, 転置行列の第 $i$ 列になります。
${\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}}}^t\!\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{3} \\ \color{red}{2} & \color{blue}{4} \end{pmatrix}$
となります。
(2)
行と列の長さが異なる時は, 行列の型が変わることに注意しましょう。
${\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}}}^t\!\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 10 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}$
(3)
${\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}}}^t\!\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
(4)
${\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}}}^t\!\begin{pmatrix} 2 & 5 & -2\\ 1 & -1 & 4 \\ 3 & -3 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 5 & -1 & -3 \\ -2 & 4 & 9 \end{pmatrix}$