(1)
行列同士の和・差は各成分ごとに計算します。

$A +B = \begin{pmatrix} 2+(-1) & 3 + 2\\ 4 +3 & 5+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5\\ 7 & 6 \end{pmatrix}$

(2)
行列の定数倍は各成分を定数倍します。

$3A = \begin{pmatrix} 3\cdot 2 & 3\cdot 3\\ 3\cdot 4 & 3\cdot 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 & 9\\ 12 & 15 \end{pmatrix}$

(3)
式を整理してから各成分を計算しましょう

$3(A+2B) - 2(2A+B) = (3A+6B) - (4A + 2B) = -A+4B$

ここで

$-A = \begin{pmatrix} -2 & -3\\ -4 & -5 \end{pmatrix}~~~4B = \begin{pmatrix} -4 & 8\\ 12 & 4 \end{pmatrix}$

であるから

$\begin{eqnarray*}3(A+2B) - 2(2A+B) & = & -A+4B \\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} -2+(-4) & -3 +8\\ -4+12 & -5+4 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} -6 & 5 \\ 8 & -1 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$

式を整理すると

$\begin{eqnarray*} 2(A+X) & = & 3(X-B) \\[0.5em] 2A + 2X& = & 3X-3B \\[0.5em] 2A + 3B & = & 3X - 2X =X \end{eqnarray*}$

よって

$\begin{eqnarray*} X & = & 2A + 3B\\[0.5em] & = & 2\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} -1 & -1 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 2 - 3 & 6 -3 & -4 + 15 \\ 4 + 6 & 0 + 9 & -2 + 12 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 3 & 11 \\ 10 & 9 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

定義通りに落ち着いて計算しましょう。

(1)

$\begin{eqnarray*} AB & = & \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 2\cdot 3 + 1\cdot(-1) & 2\cdot(-2) + 1\cdot 3 \\ 4\cdot 3 + 2\cdot(-1) & 4\cdot (-2) + 2\cdot 3 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 10 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(2)

$\begin{eqnarray*} AB & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 2\cdot 2 \\ 3\cdot 1 + 4\cdot 2 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(3)

$\begin{eqnarray*} AB & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 1\cdot 3 + 2\cdot4 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

※注意 $1\times 1$ 行列は $(~)$ を省略して単に $11$ と表すこともあります。

(4)

$\begin{eqnarray*} AB & = & \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 1\cdot 3 & 1\cdot 4 \\ 2\cdot 3 & 2\cdot 4 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

文字の時と同様に, 行列 $A$ の $n$ 個の積を $A^n$ と書き表します。

$A^2 =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\begin{eqnarray*} A^3 & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 26 & 27 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$A^2$ を計算すると

$\begin{eqnarray*} A^2 & = & \begin{pmatrix} 2 & a \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & a \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 4+a & 0 \\ 0 & a+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$a+4=0$ であればよいので $a=-4$ となります。

(1)

$A+B =\begin{pmatrix} 1+1 & 0+1 \\ -1+2 & 1+0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

であるから

$(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

(2)

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

よって

$A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 1+2+3 & 0 + 2 + 1 \\ -2+ 2 +2 & 1-2 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

※注意

この例からわかるように, 行列の計算において一般には

$(A+B)^2 \not=A^2 + 2AB +B^2$

となります。