行列式と連立1次方程式例題集

$Q1$.
クラメルの公式を使って, 次の連立 $1$ 次方程式を解きなさい。

$\left\{

$\begin{aligned} 5x+4y+3z &=7 \\-4x+3y-2z &=-1 \\-3x-2y-3z & =1 \end{aligned}$ \right.$

解答・解説を見る

$x=3$

$y=1$

$z=-4$

$3$ 次の正方行列 $A$ と列ベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{b}$ を

$A= $\begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\ -4 & 3 & -2 \\ -3 & -2 & -3\end{pmatrix}$ ,~~~ \overrightarrow{x} = $\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ ,~~~ \overrightarrow{b} = $\begin{pmatrix}7 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $

と定めると, 連立 $1$ 次方程式は $A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$ と表せます。

$|A| = $\begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 \\ -4 & 3 & -2 \\ -3 & -2 & -3 \end{vmatrix}$ = -45 + 24 + 24 -20 -48 + 27 =-38$

であり, クラメルの公式を使うと

$x = -\dfrac{1}{38} $\begin{vmatrix} 7 & 4 & 3 \\ -1 & 3 & -2 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix}$ = -\dfrac{1}{38}(-63 -8 + 6 - 28 - 12 - 9) = 3$

$y = -\dfrac{1}{38} $\begin{vmatrix} 5 & 7 & 3 \\ -4 & -1 & -2 \\ -3 & 1 & -3 \end{vmatrix}$ = -\dfrac{1}{38} (15 + 42 -12 + 10 -84 - 9) =1$

$z = -\dfrac{1}{38} $\begin{vmatrix} 5 & 4 & 7 \\ -4 & 3 & -1 \\ -3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$ = -\dfrac{1}{38}(15 + 12 +56 - 10 +16 + 63) = -4$

となります。

$Q2$.
$3$ 次正方行列 $A = $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ $ と $\overrightarrow{x} = $\begin{pmatrix} x \\ y \\z \end{pmatrix}$ $ に対し, 連立 $1$ 次方程式 $A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ が $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ 以外の解を持つ必要十分条件は $|A| =0$ であることを証明しなさい。

解答・解説を見る

$|A|\not=0$ の時, $A$ は正則なので逆行列 $A^{-1}$ が存在する。

連立 $1$ 次方程式の両辺に $A^{-1}$ を左から掛ければ

$\overrightarrow{x} = A^{-1}\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$

よってこの時, 連立 $1$ 次方程式 $A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ の解は $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ のみである。

逆に $|A| = 0$ の時, ${\rm rank}A \lt 3$ であるから $A$ は行基本変形を繰り返すことで

$B = $\begin{pmatrix} 1 & b_{12} & b_{13} \\ 0 & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ $

と変形することが出来る。

すると, 行基本変形はある行列を左から掛けることに等しいので

$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow B\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$

よって方程式 $B\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ が $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ 以外に解を持てばよい。

$b_{22} = b_{23}=0$ の時, $x + b_{12}y + b_{13}z=0$ を満たす全ての $\overrightarrow{x}$ で $B\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ が成り立つ。

$b_{22} \not =0$ の時, $z$ を任意の実数として

$y = -\dfrac{b_{23}}{b_{22}}z$, $x = -b_{12}y -b_{13}z$

とすれば $\overrightarrow{x}$ は $B\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ の解である。

$b_{23}\not=0$ の時も同様であるので, 以上から $B\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ は $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ 以外の解を持つ。

より一般に, $n$ 次正方行列 $A$ に対し

$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ が $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ 以外に解を持つ $\Leftrightarrow |A|=0$

であることが証明できます。

$Q3$.
次の連立 $1$ 次方程式が $x=y=z=0$ 以外の解を持つ時, $c$ の値を求めなさい。また, この時の解を求めなさい。

$\left\{

$\begin{aligned} 2x-2y+cz &=0 \\2x+3y-4z &=0 \\3x+2y-3z & =0 \end{aligned}$ \right.$

解答・解説を見る

$c=2$

$x=\dfrac{1}{5}k$

$y=\dfrac{6}{5}k$

$z=k~~$($k$ は任意の数)

$|A|= \left| $\begin{array}{ccc} 2&-2&c\\ 2&3&-4\\ 3&2&-3\\ \end{array}$ \right| =0$ であれば $0$ 以外の解を持つので

$|A|= \left| $\begin{array}{ccc} 2&-2&c\\ 2&3&-4\\ 3&2&-3\\ \end{array}$ \right| =-18+24+4c+16-12-9c=0$

整理すると

$-5c+10=0$

よって $c=2$ であることがわかります。

また, この時 $A$ に基本変形を施すと

$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & 2 & -3 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -6 \\ 0 & 5 & -6 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $

となるので方程式の形に書き直せば

$\left\{ $\begin{aligned} x - y + z & = 0 \\ 5y - 6z & = 0 \end{aligned}$ \right.$

$z = k$ とすれば $y = \dfrac{6}{5}k$, $x = \dfrac{1}{5}k$ となることがわかります。

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