行列式と逆行列 例題集
$Q1$.
次の行列の余因子行列を求め, 逆行列を計算しなさい。
$A = (−2−402−33−5−5−2)$
解答・解説を見る余因子行列 $\tilde{A}= (21−8−12−1146−251014)$
逆行列 $A^{-1} = \dfrac{1}{2}(21−8−12−1146−251014)$
$Q2$.
行列 $A$ が正則であるための必要十分条件は $|A|\not=0$ であることを証明しなさい。
解答・解説を見る9. 行列式の性質の例題 $Q4$ より, $A$ が正則ならば $|A|\not=0$ である。
逆に $|A| \not=0$ の時, $A$ の余因子行列を $\tilde{A}$ とすると
$A\tilde{A} =\tilde{A}A = |A|E$
が成り立つので, $\dfrac{1}{|A|}\tilde{A}$ は $A$ の逆行列である。
以上より, $A$ が正則であるための必要十分条件は $|A|\not=0$ となることである。
$Q3$.
ある行列 $X$ が正方行列 $A$ に対し $AX =E$ を満たすとする。この時 $XA=E$ であることを証明しなさい。
解答・解説を見る$AX=E$ より
$|A||X| = |AX| = |E| = 1$
$|A||X|\not=0$ であるから $|A|\not=0$ である。
よって $A$ は正則であるから $A$ の逆行列 $A^{-1}$ が存在する。$AX=E$ より
$X = EX=(A^{-1}A)X=A^{-1}(AX) = A^{-1}E=A^{-1}$
$X=A^{-1}$ であるから $XA=E$ が成り立つ。
$A$ の $(i,j)$ 成分の小行列式を $D_{ij}$ とすると, $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ は
$\tilde{A} = (D11−D21D31−D12D22−D32D13−D23D33)$
となります。各小行列式を計算すると
$D_{11} = |−33−5−2| = 21,~~D_{12} = |23−5−2| = 11,~~D_{13} = |2−3−5−5| = -25$
$D_{21} = |−40−5−2| = 8,~~~D_{22} = |−20−5−2| = 4,~~~D_{23} = |−2−4−5−5| = -10$
$D_{31} = |−40−33| = -12,~~D_{32} = |−2023| = -6,~~D_{33} = |−2−42−3| = 14$
よって $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ は
$\tilde{A} = (D11−D21D31−D12D22−D32D13−D23D33) = (21−8−12−1146−251014)$
となります。また一般に
$A\tilde{A} = \tilde{A}A = |A|E$
が成り立つので, 特に $|A|\not=0$ ならば $\dfrac{1}{|A|}\tilde{A}$ は $A$ の逆行列になります。
$|A| = |−2−402−33−5−5−2| = -12 + 60 - 30 - 16 = 2$
であるから
$A^{-1} = \dfrac{1}{2}(21−8−12−1146−251014)$
となります。