行列式の展開例題集

$Q1$.
次の行列の行列式を, 第 $1$ 行に関して展開することで計算しなさい。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -3 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

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$-22$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -3 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ とすると

$\begin{eqnarray*} |A| & = & 1 \begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & & ~~+ (-3) \begin{vmatrix} -1 & -2 & 0 \\ 2 & -3 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} -1 & -2 & 0 \\ 2 & -3 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \end{vmatrix}\\[1em] & = & -2(1-2) + 3(1-2) -3(3+2+0 -2 +4 -0) -0\\[1em] & = & 2-3-21 = -22 \end{eqnarray*}$

$Q2$.
次の行列の行列式を, 第 $2$ 列に関して展開することで計算しなさい。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & -3 & -2 \\ -3 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

解答・解説を見る

$-22$

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & -3 & -2 \\ -3 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ とすると

$\begin{eqnarray*} |A| & = & -(-1) \begin{vmatrix} 3 & -3 & -2 \\ -3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & & ~~ - 0 \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -3 & -2 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (3+ 0 + 6 - 6 -9 -0) - 2(1 + 0 + 3 - 2 - (-6) - 0) - 0 + 0\\[1em] & = & -6 - 16 = -22 \end{eqnarray*}$

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