空間内の $2$ 点 ${\rm A}(a_1,a_2,a_3)$, ${\rm B}(b_1,b_2,b_3)$ の間の距離は

${\rm AB} = \sqrt{ (a_1 - b_1)^2 + (a_2 -b_2)^2 +(a_3- b_3)^2 }$

で計算できます。よって

$ $$\begin{eqnarray*}{\rm AB} & = & \sqrt{ (-6 - (-2))^2 + (1 -4)^2 +(-3- (-3))^2 }\\[0.5em] & = & \sqrt{16+9+0}=5\end{eqnarray*}$$ $

平面ベクトルの時と同様に, 各成分ごとに計算します。

$ $$\begin{eqnarray*} 2\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b} & = & 2 (-4,-2,1) - 4(1,2,-1)\\[0.5em] & = & (-8 -4, -4-8, 2+ 4)\\[0.5em] & = & (-12,-12,6) \end{eqnarray*}$$ $

また, その大きさは

$|2\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-12)^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{324} = 18$

$\overrightarrow{{\rm PQ}} = \overrightarrow{{\rm OQ}} - \overrightarrow{{\rm OP}}$

であるから

$ $$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm PQ}} & = & \overrightarrow{{\rm OQ}} - \overrightarrow{{\rm OP}}\\[0.5em] & = & (2,2,-4) - (1,4,3)\\[0.5em] & = & (2-1, 2-4, -4-3)\\[0.5em] & = & (1,-2,-7)\end{eqnarray*}$$ $

$\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} = (3+t,4+2t,-1-t)$

であるので $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2$ を計算すると

$ $$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2 & = & (3+t)^2 + (4+2t)^2+ (-1-t)^2 \\[0.5em] & = & (t^2 + 6t+9) + (4t^2+16t+16) + (t^2+2t+1)\\[0.5em] & = & 6t^2 + 24t + 26 \\[0.5em] & = & 6(t+2)^2 + 2 \geqq 2 \end{eqnarray*}$$ $

よって $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2$ は $t = -2$ の時, 最小値 $2$ を取ります。

$|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2$ が最小である時 $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|$ も最小となるので, $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|$ は $t=-2$ の時, 最小値 $\sqrt{2}$ を取ります。

線分 ${\rm AB}$ を $m:n$ に内分する点の位置ベクトルは

$\dfrac{ n\overrightarrow{{\rm OA}} + m\overrightarrow{{\rm OB}}}{m+n}$

で与えられるので, 線分 ${\rm AB}$ を $2:1$ に内分する点の位置ベクトルは

$\dfrac{ \overrightarrow{{\rm OA}} + 2\overrightarrow{{\rm OB}}}{3} = \left( \dfrac{4 + (-10)}{3}, \dfrac{-3 + 6}{3}, \dfrac{3+ 6}{3}\right) = \left( -2,1,3\right)$