成分表示されたベクトルの計算は, 各成分ごとに計算すればよいので

$ $$\begin{eqnarray*} -3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} & = & \left((-3)\cdot(-2) + 3,(-3)\cdot (-5)-3\right)\\[0.5em] & = & (6+3,15-3)\\[0.5em] & = & (9,12) \end{eqnarray*}$$ $

また, $\overrightarrow{x} = (a,b)$ の時, その大きさは

$|\overrightarrow{x}| = \sqrt{a^2 +b^2}$

と表せるので

$| -3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} | = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} =15$

まず $\overrightarrow{{\rm PQ}}$ の成分表示を計算します。

$\overrightarrow{{\rm PQ}} = \overrightarrow{{\rm OQ}} - \overrightarrow{{\rm OP}}$

であるから

$ $$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm PQ}} & = & \overrightarrow{{\rm OQ}} - \overrightarrow{{\rm OP}}\\[0.5em] & = & (-1-3,-4-(-1))\\[0.5em] & = & (-4,-3) \end{eqnarray*}$$ $

また, その大きさは

$| \overrightarrow{{\rm PQ}} | = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5$

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y}$ を計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} & = & a(0,1) + b(1,2)\\[0.5em] & = & (b,a+2b) \end{eqnarray*}$$ $

これが $\overrightarrow{z}$ に等しいので

$(b,a+2b) = (-1,3)$

各成分を比べれば

$ $$\begin{cases}b &=& -1 \\ a+2b &=& 3 \end{cases}$$ $

ここから $a=5$, $b=-1$ が得られます。

$ $$\begin{eqnarray*} 2\overrightarrow{x} -3\overrightarrow{y} & = & (-1,-4) ~~\cdots (1)\\ 4\overrightarrow{x} - 3\overrightarrow{y} & = & (-5,4) ~~\cdots(2) \end{eqnarray*}$$ $

とすると $(2) - (1)$ より

$ $$\begin{eqnarray*} 2\overrightarrow{x} & = & (-5-(-1),4-(-4))\\[0.5em] & = & (-4,8) \end{eqnarray*}$$ $

よって $\overrightarrow{x} = (-2,4)$ となります。これを $(1)$ に代入すれば

$ $$\begin{eqnarray*} (-4,8) - 3\overrightarrow{y} & = & (-1,-4)\\[0.5em] -3\overrightarrow{y} & = & (-1,-4) - (-4,8) \end{eqnarray*}$$ $

$-3\overrightarrow{y} = (3,-12)$ より $\overrightarrow{y} = (-1,4)$ となります。

(1)
四角形 ${\rm ABCD}$ が平行四辺形の時, 対辺が平行で長さが等しいので

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm DC}}$

が成り立ちます。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (0,2) - (-3,1) = (3,1)$

また, ${\rm D}$ の座標を $(x,y)$ とすると

$\overrightarrow{{\rm DC}} = (-3,3) - (x,y) = (-x-3,-y+3)$

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm DC}}$ より各成分を比べると

$ $$\begin{cases} -x-3 & = & 3 \\ -y+3 & = & 1 \end{cases}$$ $

$x = -6$, $y=2$ より ${\rm D}(-6,2)$ となります。

(2)
$2$ つの対角線の長さはそれぞれ $|\overrightarrow{{\rm AC}}|$ と $|\overrightarrow{{\rm BD}}|$ であるので

$|\overrightarrow{{\rm AC}}| = \sqrt{(-3-(-3))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4}=2$

また

$|\overrightarrow{{\rm BD}}| = \sqrt{ ((-6)-0)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{36} = 6$

よって対角線の長さはそれぞれ $2$ と $6$ になります。

$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} = (3+2t,4+t)$

より

$ $$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}| & = & \sqrt{(3+2t)^2 + (4+t)^2}\\[0.5em] & = & \sqrt{5t^2 + 20t + 25}\end{eqnarray*}$$ $

ここで

$5t^2 + 20t + 25 = 5(t^2 + 4t+5) = 5(t+2)^2 + 5 \geqq 5$

であるから $5t^2 + 20t + 25$ は $t=-2$ の時, 最小値 $5$ を取ることがわかります。

よって $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$ は $t=-2$ の時最小になり, その値は $\sqrt{5}$ となります。