$Q1$.
$\overrightarrow{a} = (-2,-5)$, $\overrightarrow{b} =(3,-3)$ に対し $-3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ の成分表示とその大きさを求めなさい。
$Q2$.
$2$ 点 ${\rm P}(3,-1)$, ${\rm Q}(-1,-4)$ に対し $\overrightarrow{{\rm PQ}}$ の成分表示とその大きさを求めなさい。
まず $\overrightarrow{{\rm PQ}}$ の成分表示を計算します。
$\overrightarrow{{\rm PQ}} = \overrightarrow{{\rm OQ}} - \overrightarrow{{\rm OP}}$
であるから
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm PQ}} & = & \overrightarrow{{\rm OQ}} - \overrightarrow{{\rm OP}}\\[0.5em] & = & (-1-3,-4-(-1))\\[0.5em] & = & (-4,-3) \end{eqnarray*}$
また, その大きさは
$| \overrightarrow{{\rm PQ}} | = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5$
$Q3$.
$\overrightarrow{x} = (0,1)$, $\overrightarrow{y} = (1,2)$, $\overrightarrow{z} = (-1,3)$ に対し $\overrightarrow{z} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y}$ が成り立つとき, $a$, $b$ の値を求めなさい。
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y}$ を計算すると
$\begin{eqnarray*} a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} & = & a(0,1) + b(1,2)\\[0.5em] & = & (b,a+2b) \end{eqnarray*}$
これが $\overrightarrow{z}$ に等しいので
$(b,a+2b) = (-1,3)$
各成分を比べれば
$\begin{cases}b &=& -1 \\ a+2b &=& 3 \end{cases}$
ここから $a=5$, $b=-1$ が得られます。
$Q4$.
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ が以下を満たす時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ の成分表示をそれぞれ求めなさい。
$\begin{eqnarray*} 2\overrightarrow{x} -3\overrightarrow{y} & = & (-1,-4) ~~\cdots (1)\\ 4\overrightarrow{x} - 3\overrightarrow{y} & = & (-5,4) ~~\cdots(2) \end{eqnarray*}$
とすると $(2) - (1)$ より
$\begin{eqnarray*} 2\overrightarrow{x} & = & (-5-(-1),4-(-4))\\[0.5em] & = & (-4,8) \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{x} = (-2,4)$ となります。これを $(1)$ に代入すれば
$\begin{eqnarray*} (-4,8) - 3\overrightarrow{y} & = & (-1,-4)\\[0.5em] -3\overrightarrow{y} & = & (-1,-4) - (-4,8) \end{eqnarray*}$
$-3\overrightarrow{y} = (3,-12)$ より $\overrightarrow{y} = (-1,4)$ となります。
$Q5$.
$3$ 点 ${\rm A}(-3,1)$, ${\rm B}(0,2)$, ${\rm C}(-3,3)$ に対し, 以下の問いに答えなさい。
(1)
四角形 ${\rm ABCD}$ が平行四辺形の時, 対辺が平行で長さが等しいので
$\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm DC}}$
が成り立ちます。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (0,2) - (-3,1) = (3,1)$
また, ${\rm D}$ の座標を $(x,y)$ とすると
$\overrightarrow{{\rm DC}} = (-3,3) - (x,y) = (-x-3,-y+3)$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm DC}}$ より各成分を比べると
$\begin{cases} -x-3 & = & 3 \\ -y+3 & = & 1 \end{cases}$
$x = -6$, $y=2$ より ${\rm D}(-6,2)$ となります。
(2)
$2$ つの対角線の長さはそれぞれ $|\overrightarrow{{\rm AC}}|$ と $|\overrightarrow{{\rm BD}}|$ であるので
$|\overrightarrow{{\rm AC}}| = \sqrt{(-3-(-3))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4}=2$
また
$|\overrightarrow{{\rm BD}}| = \sqrt{ ((-6)-0)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{36} = 6$
よって対角線の長さはそれぞれ $2$ と $6$ になります。
$Q6$.
$\overrightarrow{a} = (3,4)$, $\overrightarrow{b} = (2,1)$ と実数 $t$ に対し, $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$ が最小となる時の $t$ と, その時の値を求めなさい。
$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} = (3+2t,4+t)$
より
$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}| & = & \sqrt{(3+2t)^2 + (4+t)^2}\\[0.5em] & = & \sqrt{5t^2 + 20t + 25}\end{eqnarray*}$
ここで
$5t^2 + 20t + 25 = 5(t^2 + 4t+5) = 5(t+2)^2 + 5 \geqq 5$
であるから $5t^2 + 20t + 25$ は $t=-2$ の時, 最小値 $5$ を取ることがわかります。
よって $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$ は $t=-2$ の時最小になり, その値は $\sqrt{5}$ となります。
成分表示されたベクトルの計算は, 各成分ごとに計算すればよいので
$\begin{eqnarray*} -3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} & = & \left((-3)\cdot(-2) + 3,(-3)\cdot (-5)-3\right)\\[0.5em] & = & (6+3,15-3)\\[0.5em] & = & (9,12) \end{eqnarray*}$
また, $\overrightarrow{x} = (a,b)$ の時, その大きさは
$|\overrightarrow{x}| = \sqrt{a^2 +b^2}$
と表せるので
$| -3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} | = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} =15$